Seja
uma função, definida por
Analise os comportamentos dos pontos críticos de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para analisarmos o comportamento dos pontos críticos da função
definida por
Isso está na área de Cálculo Multivariável, especificamente sobre pontos críticos e sua classificação. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero e depois analisar a natureza desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são zero:
Simplificando a primeira equação:
Vamos analisar os dois casos:
Caso 1:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo
Então, temos os pontos críticos:
e
.
Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo
Então, temos os pontos críticos:
e
.
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos
,
,
e
, vamos classificar cada um deles usando o Teste da Segunda Derivada.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Vamos calcular
em cada ponto crítico:
Ponto (0, 0):
Como
e
, é um máximo local.
Ponto (0, 4):
Como
e
, é um mínimo local.
Ponto (2, 2):
Como
, é um ponto de sela.
Ponto (-2, 2):
Como
, é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos de
e seus comportamentos são:
-
: Máximo local -
: Mínimo local -
e : Pontos de sela
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, definida por
tal que
satisfaz
.
Suponha que
seja uma função qualquer com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, tal que
e
seja um ponto crítico de
. Escreva uma expressão para o polinômio de Taylor de segundo grau
de
em
.
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circunda a circunferência
, quais são os valores de
e
que minimizam a área da elipse?
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, definida por