Seja uma função, definida por
Analise os comportamentos dos pontos críticos de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para analisarmos o comportamento dos pontos críticos da função definida por
Isso está na área de Cálculo Multivariável, especificamente sobre pontos críticos e sua classificação. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero e depois analisar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são zero:
Simplificando a primeira equação:
Vamos analisar os dois casos:
Caso 1:
Substituindo na segunda equação:
Então, temos os pontos críticos: e .
Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Então, temos os pontos críticos: e .

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos , , e , vamos classificar cada um deles usando o Teste da Segunda Derivada.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:
Vamos calcular em cada ponto crítico:
Ponto (0, 0):
Como e , é um máximo local.
Ponto (0, 4):
Como e , é um mínimo local.
Ponto (2, 2):
Como , é um ponto de sela.
Ponto (-2, 2):
Como , é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos de e seus comportamentos são:
  • : Máximo local
  • : Mínimo local
  • e : Pontos de sela

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tal que satisfaz .
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