Resolva as inequações em :

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação nos números reais . O conteúdo que vamos usar aqui envolve inequações fracionárias, que são aquelas onde temos uma fração com polinômios no numerador e no denominador. Para resolver isso, precisamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador, encontrar os pontos críticos e analisar os sinais em cada intervalo formado por esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador para facilitar a resolução. Começando pelo numerador:
Podemos fatorar tirando um :
Agora, fatoramos o polinômio quadrático . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e :
Então, o numerador fatorado é:
Agora, vamos fatorar o denominador:
Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e :
Portanto, o denominador fatorado é:

Passo 3

Agora que temos a fração fatorada, vamos reescrevê-la:
Podemos simplificar o multiplicando todo o lado da inequação por , lembrando que ao multiplicar por um número negativo, o sinal da inequação se inverte:

Passo 4

Vamos identificar os pontos críticos, que são os valores de que tornam o numerador ou o denominador igual a zero:
  • Numerador: e
  • Denominador: e
Esses pontos dividem a linha dos números reais em intervalos que vamos analisar.

Passo 5

Vamos ordenar os pontos críticos na reta numérica:
Isso divide a reta em 5 intervalos:

Passo 6

Vamos testar um valor de em cada intervalo para verificar se a inequação é verdadeira:
  1. Intervalo : Vamos escolher
    á
  2. Intervalo : Vamos escolher
    á
  3. Intervalo : Vamos escolher
    á
  4. Intervalo : Vamos escolher
    á
  5. Intervalo : Vamos escolher
    á

Passo 7

Também precisamos verificar os pontos críticos onde o numerador é zero (já que inclui zero) e onde o denominador é zero (função indefinida).
  • e : O numerador é zero, então a inequação é igual a zero. Portanto, esses pontos fazem parte da solução.
  • e : O denominador é zero, então a função não está definida nesses pontos. Eles não fazem parte da solução.

Resposta

A solução da inequação é:

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Estude o sinal das funções definidas em .
Para a equação de raízes e usando apenas as fórmulas de soam e produto das raízes, calcule:
Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das funções abaixo, definidas em .