Resolva as inequações em
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
nos números reais
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve inequações fracionárias, que são aquelas onde temos uma fração com polinômios no numerador e no denominador. Para resolver isso, precisamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador, encontrar os pontos críticos e analisar os sinais em cada intervalo formado por esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador para facilitar a resolução. Começando pelo numerador:
Podemos fatorar tirando um
:
Agora, fatoramos o polinômio quadrático
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
:
Então, o numerador fatorado é:
Agora, vamos fatorar o denominador:
Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
:
Portanto, o denominador fatorado é:
Passo 3
Agora que temos a fração fatorada, vamos reescrevê-la:
Podemos simplificar o
multiplicando todo o lado da inequação por
, lembrando que ao multiplicar por um número negativo, o sinal da inequação se inverte:
Passo 4
Vamos identificar os pontos críticos, que são os valores de
que tornam o numerador ou o denominador igual a zero:
- Numerador:
e - Denominador:
e
Esses pontos dividem a linha dos números reais em intervalos que vamos analisar.
Passo 5
Vamos ordenar os pontos críticos na reta numérica:
Isso divide a reta em 5 intervalos:
Passo 6
Vamos testar um valor de
em cada intervalo para verificar se a inequação
é verdadeira:
-
Intervalo
: Vamos escolher -
Intervalo
: Vamos escolher -
Intervalo
: Vamos escolher -
Intervalo
: Vamos escolher -
Intervalo
: Vamos escolher
Passo 7
Também precisamos verificar os pontos críticos onde o numerador é zero (já que
inclui zero) e onde o denominador é zero (função indefinida).
-
e : O numerador é zero, então a inequação é igual a zero. Portanto, esses pontos fazem parte da solução. -
e : O denominador é zero, então a função não está definida nesses pontos. Eles não fazem parte da solução.
Resposta
A solução da inequação
é:
Exercícios relacionados
Resolva as inequações em
:
Estude o sinal das funções definidas em
.
Para a equação
de raízes
e
usando apenas as fórmulas de soam e produto das raízes, calcule:
Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das funções abaixo, definidas em
.