Mostre que a função
tem um mínimo em
e um máximo em
.
Passo 1
Ok, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a função
tem um mínimo em
e um máximo em
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para identificar onde a função atinge valores máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se
, então
. No nosso caso,
, então:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos, devemos resolver
. Assim:
Sabemos que
nunca é zero para nenhum valor real de
. Portanto, a equação se reduz a:
Passo 4
As soluções para
são valores de
onde
, onde
é um número inteiro. No intervalo considerado, os valores relevantes são
e
.
Passo 5
Agora, para determinar se esses pontos são m��ximos ou mínimos, vamos analisar a segunda derivada de
. Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Passo 6
Vamos avaliar
nos pontos críticos:
- Em
:
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que
tem um mínimo em
.
- Em
:
Como a segunda derivada é negativa, isso indica que
tem um máximo em
.
Resposta
Portanto, a função
possui um mínimo em
e um máximo em
.