Mostre que a função f(x)=integrala^x exp (t) sin (t) d t tem um mínimo em x=0 e um máximo em x=pi.

Passo 1

Ok, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a função tem um mínimo em e um máximo em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para identificar onde a função atinge valores máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função f'(x) = e^x sin(x) . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se , então . No nosso caso, , então:

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos, devemos resolver e^x sin(x) = 0 . Assim:
sin(x) = 0
Sabemos que nunca é zero para nenhum valor real de . Portanto, a equação se reduz a:

Passo 4

As soluções para são valores de onde , onde é um número inteiro. No intervalo considerado, os valores relevantes são e .

Passo 5

Agora, para determinar se esses pontos são m��ximos ou mínimos, vamos analisar a segunda derivada de f''(x) = ddx(e^x sin(x)) = e^x sin(x) + e^x cos(x) = e^x (sin(x) + cos(x)) . Primeiro, encontramos a segunda derivada:

Passo 6

Vamos avaliar f''(0) = e^0 (sin(0) + cos(0)) = 1 (0 + 1) = 1 > 0 nos pontos críticos:
  • Em f''(pi) = e^pi (sin(pi) + cos(pi)) = e^pi (0 -1) = -e^pi < 0 :
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que tem um mínimo em .
  • Em :
Como a segunda derivada é negativa, isso indica que tem um máximo em .

Resposta

Portanto, a função possui um mínimo em e um máximo em .

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