Determine o valor médio de f sobre o retângulo dado.
f(x, y)=e^y raizx+e^y, R=[0,4] times[0,1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o valor médio da função sobre o retângulo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integral dupla para calcular a média sobre uma região.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área do retângulo A = 4 times 1 = 4 . Como , a largura é e a altura é . Então, a área é:

Passo 3

O valor médio de uma função sobre uma região é dado pela fórmula:
Valor Médio = 1A integral duplaR f(x, y) , dx , dy é
Aqui, representa a integral dupla da função sobre o retângulo .

Passo 4

Vamos configurar a integral dupla. Como integral duplaR f(x, y) , dx , dy = integral0^1 integral0^4 e^y raizx + e^y , dx , dy , os limites de integração são de a e de a :

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^4 e^y raizx + e^y , dx :
integrale^y^4 + e^y e^y raizu , du = e^y integrale^y^4 + e^y u^1/2 , du
Fazendo a substituição e^y [ 23 u^3/2 ]e^y^4 + e^y = 23 e^y ( (4 + e^y)^3/2 - (e^y)^3/2 ) , temos e os limites mudam para quando e quando . A integral fica:
Integrando :

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral0^1 23 e^y ( (4 + e^y)^3/2 - (e^y)^3/2 ) dy :
23 integral0^1 e^y (4 + e^y)^3/2 , dy - 23 integral0^1 e^y (e^y)^3/2 , dy
Isso pode ser simplificado em duas partes:
23 [ 25 (4 + e^y)^5/2 ]0^1 = 415 ( (4 + e)^5/2 - 5^5/2 )
Para a primeira integral, fazemos a substituição 23 [ 25 e^5y/2 ]0^1 = 415 ( e^5/2 - 1 ) , integral duplaR f(x, y) , dx , dy = 415 ( (4 + e)^5/2 - 5^5/2 - e^5/2 + 1 ) :
Para a segunda integral:
Juntando tudo:

Passo 7

Agora, calculamos o valor médio dividindo pela área Valor Médio = 14 times 415 ( (4 + e)^5/2 - 5^5/2 - e^5/2 + 1 ) = 115 ( (4 + e)^5/2 - 5^5/2 - e^5/2 + 1 ) :
e approx 2,71828 é
Vamos calcular os valores numéricos:
(4 + e)^5/2 approx (6,71828)^2,5 approx 117,11
Então:
5^5/2 = 55,90
e^5/2 approx 12,1825
115 ( 117,11 - 55,90 - 12,1825 + 1 ) = 115 times 49,0275 approx 3,27
Substituindo:

Resposta

O valor médio de sobre o retângulo é aproximadamente 3,27.

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a) 100
b) 50
c) 9,0
d) 4,5
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a) 13,5
b) 27,0
c) 54,0
d) 127
e) 327