Determine o valor médio de
sobre o retângulo dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o valor médio da função
sobre o retângulo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integral dupla para calcular a média sobre uma região.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área do retângulo
. Como
, a largura é
e a altura é
. Então, a área
é:
Passo 3
O valor médio de uma função sobre uma região é dado pela fórmula:
Aqui,
representa a integral dupla da função
sobre o retângulo
.
Passo 4
Vamos configurar a integral dupla. Como
, os limites de integração são de
a
e de
a
:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo a substituição
, temos
e os limites mudam para
quando
e
quando
. A integral fica:
Integrando
:
Passo 6
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
:
Isso pode ser simplificado em duas partes:
Para a primeira integral, fazemos a substituição
,
:
Para a segunda integral:
Juntando tudo:
Passo 7
Agora, calculamos o valor médio dividindo pela área
:
Vamos calcular os valores numéricos:
Então:
Substituindo:
Resposta
O valor médio de
sobre o retângulo
é aproximadamente 3,27.