Determine o valor de de modo que
seja contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o valor de de forma que a função seja contínua no ponto . A função está definida de forma diferente dependendo se é igual a ou não. Para resolver, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente diz que o limite da função no ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Vamos precisar calcular limites e igualar ao valor dado para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar quando . A função é dada por:
No ponto , temos e . Como nesse ponto, precisamos considerar o segundo caso da função:
Para garantir a continuidade, o limite da função quando se aproxima de deve ser igual a .

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de pelo caso em que :
Substituindo e :
Isso nos dá uma indeterminação, então precisamos simplificar a expressão.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão . Primeiro, fatoramos o numerador:
Agora, a função fica:
Então, o limite simplificado é:

Passo 5

Agora, calculamos o limite simplificado:
Portanto, o limite da função quando se aproxima de é 50.

Passo 6

Para garantir a continuidade, esse limite deve ser igual ao valor da função no ponto , que é :
Agora, é só resolver para .

Passo 7

Resolvendo a equação :

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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