Determine o valor de
de modo que
seja contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o valor de
de forma que a função
seja contínua no ponto
. A função está definida de forma diferente dependendo se
é igual a
ou não. Para resolver, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente diz que o limite da função no ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Vamos precisar calcular limites e igualar ao valor dado para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar quando
. A função é dada por:
No ponto
, temos
e
. Como
nesse ponto, precisamos considerar o segundo caso da função:
Para garantir a continuidade, o limite da função quando
se aproxima de
deve ser igual a
.
Passo 3
Vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de
pelo caso em que
:
Substituindo
e
:
Isso nos dá uma indeterminação, então precisamos simplificar a expressão.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão
. Primeiro, fatoramos o numerador:
Agora, a função fica:
Então, o limite simplificado é:
Passo 5
Agora, calculamos o limite simplificado:
Portanto, o limite da função quando
se aproxima de
é 50.
Passo 6
Para garantir a continuidade, esse limite deve ser igual ao valor da função no ponto
, que é
:
Agora, é só resolver para
.
Passo 7
Resolvendo a equação
:
Resposta
O valor de
que torna a função contínua em
é
.