Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai analisar a função
. A matéria aqui envolve funções de duas variáveis, domínio, imagem, curvas de nível, fronteiras e propriedades do domínio. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável e análise de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida.
A função é
. A exponencial
está definida para todo número real
. Aqui,
, que também é válido para qualquer
e
. Então, não tem restrição.
Passo 3
Agora, vamos descobrir a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir.
Como
, sabemos que
é sempre maior ou igual a 0. Então,
é sempre menor ou igual a 0. Assim,
varia entre
e
. Portanto, a imagem é o intervalo
.
Passo 4
Vamos descrever as curvas de nível da função. As curvas de nível são os conjuntos de pontos
onde a função assume um valor constante
.
Então, temos
. Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Para
no intervalo
,
é sempre positivo. Portanto, as curvas de nível são círculos centrados na origem com raio
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a fronteira do domínio da função. A fronteira de um conjunto é o conjunto de pontos que estão “na borda” desse conjunto.
Como o domínio é todo o plano
, e o plano não tem borda, a fronteira do domínio é vazia.
Passo 6
Vamos determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas.
Um conjunto é aberto se não inclui sua fronteira, e fechado se inclui toda a sua fronteira.
Como a fronteira do domínio é vazia, o domínio
é considerado tanto aberto quanto fechado. Mas, geralmente, no contexto de análise, consideramos
como um conjunto aberto.
Passo 7
Por fim, vamos decidir se o domínio é limitado ou não limitado.
Um conjunto é limitado se está contido dentro de um círculo de raio finito. Como o domínio é todo o plano, ele não está restrito a nenhum círculo finito. Portanto, o domínio é não limitado.
Resposta
(a) O domínio da função é todo o plano real
.
(b) A imagem da função é o intervalo
.
© As curvas de nível são círculos centrados na origem com raio
, onde
.
(d) A fronteira do domínio é o conjunto vazio.
(e) O domínio é uma região aberta.
(f) O domínio é não limitado.
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seja contínua em
.
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A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante:
; em torno de
.