Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai analisar a função . A matéria aqui envolve funções de duas variáveis, domínio, imagem, curvas de nível, fronteiras e propriedades do domínio. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável e análise de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida.
A função é . A exponencial está definida para todo número real . Aqui, , que também é válido para qualquer e . Então, não tem restrição.

Passo 3

Agora, vamos descobrir a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir.
Como , sabemos que é sempre maior ou igual a 0. Então, é sempre menor ou igual a 0. Assim, varia entre e . Portanto, a imagem é o intervalo .

Passo 4

Vamos descrever as curvas de nível da função. As curvas de nível são os conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante .
Então, temos . Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Para no intervalo , é sempre positivo. Portanto, as curvas de nível são círculos centrados na origem com raio .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a fronteira do domínio da função. A fronteira de um conjunto é o conjunto de pontos que estão “na borda” desse conjunto.
Como o domínio é todo o plano , e o plano não tem borda, a fronteira do domínio é vazia.

Passo 6

Vamos determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas.
Um conjunto é aberto se não inclui sua fronteira, e fechado se inclui toda a sua fronteira.
Como a fronteira do domínio é vazia, o domínio é considerado tanto aberto quanto fechado. Mas, geralmente, no contexto de análise, consideramos como um conjunto aberto.

Passo 7

Por fim, vamos decidir se o domínio é limitado ou não limitado.
Um conjunto é limitado se está contido dentro de um círculo de raio finito. Como o domínio é todo o plano, ele não está restrito a nenhum círculo finito. Portanto, o domínio é não limitado.

Resposta

(a) O domínio da função é todo o plano real .
(b) A imagem da função é o intervalo .
© As curvas de nível são círculos centrados na origem com raio , onde .
(d) A fronteira do domínio é o conjunto vazio.
(e) O domínio é uma região aberta.
(f) O domínio é não limitado.

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Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
Determine o valor de de modo que
seja contínua em .
Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante: ; em torno de .