Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
f(x, y) = ln(x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com a função . O que precisamos fazer é:
a) Encontrar o domínio da função
b) Encontrar a imagem da função
c) Descrever as curvas de nível da função
d) Encontrar a fronteira do domínio da função
e) Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas
f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado
Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções de duas variáveis, domínio, imagem, curvas de nível, fronteira, e propriedades de regiões no plano.

Passo 2

a) Encontrar o domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, e ) para os quais a função está definida.
Nossa função é . Sabemos que o logaritmo natural, , está definido apenas quando . Então, precisamos que:
Isso significa que não pode ser o ponto , já que:
ã
Portanto, o domínio da função é todo o plano exceto o ponto .

Passo 3

b) Encontrar a imagem da função
A imagem de uma função são todos os valores de saída possíveis.
Considerando , sabemos que é sempre positivo (exceto em , que já excluímos).
Além disso:
Então, o logaritmo de um número que vai de a cobre todo o intervalo real:
Portanto, a imagem da função é , todo o conjunto dos números reais.

Passo 4

c) Descrever as curvas de nível da função
As curvas de nível mostram onde a função assume valores constantes. Para , uma curva de nível para um valor é dada por:
Resolvendo para e :
Isso representa círculos de raio centrados na origem . Cada valor de corresponde a um círculo diferente, então as curvas de nível são círculos concêntricos ao redor da origem.

Passo 5

d) Encontrar a fronteira do domínio da função
A fronteira de um conjunto é o conjunto de pontos onde você pode se aproximar tanto de dentro quanto de fora do conjunto.
Nosso domínio é todo o plano menos o ponto . A fronteira desse domínio é o próprio ponto , já que é o ponto que está “limite” entre onde a função está definida e onde não está.

Passo 6

e) Determinar se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas
Uma região aberta não inclui sua fronteira, enquanto uma região fechada inclui.
Como o domínio exclui o ponto , que é a fronteira, ele não inclui todos os seus pontos de fronteira. Portanto, o domínio é uma região aberta.

Passo 7

f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado
Uma região é limitada se está contida dentro de algum círculo de raio finito, caso contrário, é não limitada.
No nosso caso, o domínio é todo o plano exceto o ponto . Como podemos ir infinitamente longe nos eixos e , o domínio não é limitado.

Resposta

a) O domínio da função é menos o ponto .
b) A imagem da função é (todos os números reais).
c) As curvas de nível são círculos concêntricos centrados na origem.
d) A fronteira do domínio é o ponto .
e) O domínio é uma região aberta.
f) O domínio é não limitado.

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