Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com a função
. O que precisamos fazer é:
a) Encontrar o domínio da função
b) Encontrar a imagem da função
c) Descrever as curvas de nível da função
d) Encontrar a fronteira do domínio da função
e) Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas
f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado
b) Encontrar a imagem da função
c) Descrever as curvas de nível da função
d) Encontrar a fronteira do domínio da função
e) Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas
f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado
Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções de duas variáveis, domínio, imagem, curvas de nível, fronteira, e propriedades de regiões no plano.
Passo 2
a) Encontrar o domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso,
e
) para os quais a função está definida.
Nossa função é
. Sabemos que o logaritmo natural,
, está definido apenas quando
. Então, precisamos que:
Isso significa que
não pode ser o ponto
, já que:
Portanto, o domínio da função é todo o plano
exceto o ponto
.
Passo 3
b) Encontrar a imagem da função
A imagem de uma função são todos os valores de saída possíveis.
Considerando
, sabemos que
é sempre positivo (exceto em
, que já excluímos).
Além disso:
Então, o logaritmo de um número que vai de
a
cobre todo o intervalo real:
Portanto, a imagem da função é
, todo o conjunto dos números reais.
Passo 4
c) Descrever as curvas de nível da função
As curvas de nível mostram onde a função assume valores constantes. Para
, uma curva de nível para um valor
é dada por:
Resolvendo para
e
:
Isso representa círculos de raio
centrados na origem
. Cada valor de
corresponde a um círculo diferente, então as curvas de nível são círculos concêntricos ao redor da origem.
Passo 5
d) Encontrar a fronteira do domínio da função
A fronteira de um conjunto é o conjunto de pontos onde você pode se aproximar tanto de dentro quanto de fora do conjunto.
Nosso domínio é todo o plano
menos o ponto
. A fronteira desse domínio é o próprio ponto
, já que é o ponto que está “limite” entre onde a função está definida e onde não está.
Passo 6
e) Determinar se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas
Uma região aberta não inclui sua fronteira, enquanto uma região fechada inclui.
Como o domínio exclui o ponto
, que é a fronteira, ele não inclui todos os seus pontos de fronteira. Portanto, o domínio é uma região aberta.
Passo 7
f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado
Uma região é limitada se está contida dentro de algum círculo de raio finito, caso contrário, é não limitada.
No nosso caso, o domínio é todo o plano
exceto o ponto
. Como podemos ir infinitamente longe nos eixos
e
, o domínio não é limitado.
Resposta
a) O domínio da função é
menos o ponto
.
b) A imagem da função é (todos os números reais).
c) As curvas de nível são círculos concêntricos centrados na origem.
d) A fronteira do domínio é o ponto .
e) O domínio é uma região aberta.
f) O domínio é não limitado.
b) A imagem da função é
c) As curvas de nível são círculos concêntricos centrados na origem.
d) A fronteira do domínio é o ponto
e) O domínio é uma região aberta.
f) O domínio é não limitado.