Determine o valor de m de modo que o tetraedro determinado pelos vetores e , tenha volume .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de de forma que o tetraedro formado pelos vetores , e tenha um volume de . Para isso, vamos usar a fórmula do volume de um tetraedro que envolve o produto misto dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume de um tetraedro. O volume é dado por:
Aqui, é o produto vetorial entre e , e é o produto escalar entre e o resultado do produto vetorial.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial u = 1 m -1 , w = 3 0 -1 . Sabemos que:
u times w = m cdot (-1) - (-1) cdot 0 - (1 cdot (-1) - (-1) cdot 3 ) 1 cdot 0 - m cdot 3 = - m - ( -1 + 3 ) -3m = - m -2 -3m
O produto vetorial é dado por:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar v = 2 -3 0 , u times w = -m -2 -3m . Temos:
v cdot (u times w) = 2 cdot (-m) + (-3) cdot (-2) + 0 cdot (-3m) = -2m + 6 + 0 = -2m + 6
O produto escalar é:
Passo 5
Agora, sabemos que o volume 16 | -2m + 6 | = 23 é | -2m + 6 | = 4 . Aplicando na fórmula do volume:
Multiplicando ambos os lados por 6 para simplificar: