Determine o valor de
no ponto
sabendo que a equação
define
como uma função de
e que a derivada existe.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. Temos uma equação que relaciona
e
:
Ela define
como uma função de
, ou seja,
. Nosso objetivo é encontrar a derivada
no ponto
. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a regra da derivada implícita.
Passo 2
Como
é uma função de
, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que ao derivar termos que envolvem
, precisamos usar a regra da cadeia, multiplicando pela derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando cada termo:
Passo 3
Vamos derivar cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Derivada de uma constante:
Passo 4
Substituindo as derivadas na equação original:
Passo 5
Agora, queremos isolar
. Vamos reorganizar a equação:
Agrupando os termos com
:
Passo 6
Isolando
:
Passo 7
Agora, vamos substituir os valores de
e
:
Resposta
O valor de
no ponto
é 0.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. (a) Usando a Regra da Cadeia, expresse
e
como funções de
e
.
Usando que
para
, calcule:
(b) Encontre a derivada da função
em
na direção do vetor
.
Sejam
e
. (b) Calcule
no ponto
.