Determine o valor de dx/dy no ponto 1,0 sabendo que a equação 2*x^2 + y^2 - ln(x^2 + y^2) = 2 define x como uma função de y e que a derivada existe.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. Temos uma equação que relaciona e :
Ela define como uma função de , ou seja, . Nosso objetivo é encontrar a derivada no ponto . Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a regra da derivada implícita.

Passo 2

Como é uma função de , vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que ao derivar termos que envolvem , precisamos usar a regra da cadeia, multiplicando pela derivada de em relação a , ou seja, .
Derivando cada termo:

Passo 3

Vamos derivar cada termo:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Derivada de uma constante:

Passo 4

Substituindo as derivadas na equação original:

Passo 5

Agora, queremos isolar . Vamos reorganizar a equação:
Agrupando os termos com :

Passo 6

Isolando :

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores de e :

Resposta

O valor de no ponto é 0.

Exercícios relacionados