Sejam
e
. (a) Usando a Regra da Cadeia, expresse
e
como funções de
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função composta
, onde
e
. A tarefa é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
, utilizando a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia em funções de várias variáveis.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
,
. Pela Regra da Cadeia, temos:
Passo 3
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Em seguida, calculamos as derivadas parciais de
e
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na expressão para
:
Passo 6
De forma semelhante, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. Pela Regra da Cadeia:
Passo 7
Calculamos as derivadas parciais de
e
em relação a
:
Passo 8
Substituímos esses valores na expressão para
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Usando que
para
, calcule:
Encontre a derivada da função:
Determine o valor de
no ponto
sabendo que a equação
define
como uma função de
e que a derivada existe.
(b) Encontre a derivada da função
em
na direção do vetor
.