Sejam z = u^2 + v^3, u = 3x - y e v = x + 2y. (a) Usando a Regra da Cadeia, expresse zx e zy como funções de u e v.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função composta , onde e . A tarefa é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e , utilizando a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia em funções de várias variáveis.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , . Pela Regra da Cadeia, temos:

Passo 3

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Em seguida, calculamos as derivadas parciais de e em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na expressão para :

Passo 6

De forma semelhante, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , . Pela Regra da Cadeia:

Passo 7

Calculamos as derivadas parciais de e em relação a :

Passo 8

Substituímos esses valores na expressão para :

Resposta

As derivadas parciais são:

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