Sejam e . (a) Usando a Regra da Cadeia, expresse e como funções de e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função composta , onde e . A tarefa é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e , utilizando a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia em funções de várias variáveis.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , . Pela Regra da Cadeia, temos:

Passo 3

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Em seguida, calculamos as derivadas parciais de e em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na expressão para :

Passo 6

De forma semelhante, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , . Pela Regra da Cadeia:

Passo 7

Calculamos as derivadas parciais de e em relação a :

Passo 8

Substituímos esses valores na expressão para :

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Usando que para , calcule:
Encontre a derivada da função:
Determine o valor de no ponto sabendo que a equação define como uma função de e que a derivada existe.
(b) Encontre a derivada da função em na direção do vetor .