Usando que lim x 0 a^x-1x=ln a para a>0, calcule:
lim x 2 5^x-25x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 2 5^x-25x-2. O conteúdo aqui envolve cálculo de limites, especificamente utilizando propriedades de funções exponenciais e logaritmos. Vamos precisar lembrar que lim x 0 a^x-1x=ln a para a>0, que é essencial para resolver esse tipo de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que quando x se aproxima de 2, o numerador 5^x - 25 tende a zero, já que 5^2 = 25. Portanto, temos uma indeterminação do tipo 00, o que nos permite usar técnicas de cálculo de limites, como a derivada ou a substituição adequada.

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar. Seja x = 2 + h, onde h tende a 0 quando x tende a 2. Substituindo na expressão original:
limh 0 5^2 + h - 25(2 + h) - 2 = limh 0 5^2 cdot 5^h - 25h

Passo 4

Sabemos que 5^2 = 25, então a expressão fica:
limh 0 25 cdot 5^h - 25h = 25 cdot limh 0 5^h - 1h

Passo 5

Aqui aplicamos a propriedade dada no enunciado: lim h 0 5^h - 1h = ln 5. Então substituindo:
25 cdot ln 5

Resposta

O limite é 25 cdot ln 5.

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