(b) Encontre a derivada da função h(x, y, z) = e^(-y) * sen(x) + 1/3 * e^(-3y) * sen(3x) + z^2 em P0 = (pi/3, 0, 1) na direção do vetor u = -1/2 i + raiz(2)/2 j + 1/2 k.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função . Precisamos encontrar a derivada dessa função no ponto na direção do vetor .
Conteúdo da matéria: Derivadas direcionais, gradiente de uma função e produto escalar.
O que vamos precisar: Calcular as derivadas parciais de em relação a , e , verificar se o vetor direção é unitário, e usar a fórmula da derivada direcional que envolve o gradiente e o produto escalar.

Passo 2

Verificando se o vetor é unitário:
Um vetor unitário tem magnitude igual a 1. Vamos calcular a magnitude de :
Como a magnitude é 1, já é um vetor unitário.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Avaliando as derivadas parciais no ponto :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Formando o gradiente de no ponto :

Passo 6

Calculando a derivada direcional usando o gradiente e o vetor direção :
A derivada direcional é dada pelo produto escalar entre o gradiente de e o vetor direção :

Passo 7

Simplificando o cálculo:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é:

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