(b) Encontre a derivada da função em na direção do vetor .
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a função . Precisamos encontrar a derivada dessa função no ponto na direção do vetor .
Conteúdo da matéria: Derivadas direcionais, gradiente de uma função e produto escalar.
O que vamos precisar: Calcular as derivadas parciais de em relação a , e , verificar se o vetor direção é unitário, e usar a fórmula da derivada direcional que envolve o gradiente e o produto escalar.
Passo 2
Verificando se o vetor é unitário:
Um vetor unitário tem magnitude igual a 1. Vamos calcular a magnitude de :
Como a magnitude é 1, já é um vetor unitário.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais de :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 4
Avaliando as derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :
Para :
Passo 5
Formando o gradiente de no ponto :
Passo 6
Calculando a derivada direcional usando o gradiente e o vetor direção :
A derivada direcional é dada pelo produto escalar entre o gradiente de e o vetor direção :
Passo 7
Simplificando o cálculo:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é: