Determine o valor de a para que os pontos (6, 4), (3, 2) e (a, -2) sejam colineares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de a para que os pontos (6, 4), (3, 2) e (a, -2) estejam na mesma linha reta. Isso envolve entender um pouco de geometria analítica, especialmente sobre retas e inclinações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que três pontos estão colineares se a inclinação (ou “slope”) da reta entre o primeiro e o segundo ponto for a mesma da reta entre o segundo e o terceiro ponto. A inclinação entre dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é dada pela fórmula:
Passo 3
Vamos calcular a inclinação entre os dois primeiros pontos: (6, 4) e (3, 2).
Usando a fórmula:
Então, a inclinação m₁ é 2/3.
Passo 4
Agora, vamos calcular a inclinação entre o segundo ponto (3, 2) e o terceiro ponto (a, -2). Usando a mesma fórmula:
Passo 5
Como queremos que as três figuras estejam na mesma reta, as inclinações m₁ e m₂ devem ser iguais. Então, igualamos as duas expressões:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de a. Primeiro, fazemos o produto cruzado:
Simplificando:
Passo 7
Agora, isolamos a:
Resposta
O valor de a que faz os pontos serem colineares é -3.