Determine o valor de a para que os pontos (6, 4), (3, 2) e (a, -2) sejam colineares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de a para que os pontos (6, 4), (3, 2) e (a, -2) estejam na mesma linha reta. Isso envolve entender um pouco de geometria analítica, especialmente sobre retas e inclinações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que três pontos estão colineares se a inclinação (ou “slope”) da reta entre o primeiro e o segundo ponto for a mesma da reta entre o segundo e o terceiro ponto. A inclinação entre dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é dada pela fórmula:
m = y2 - y1x2 - x1

Passo 3

Vamos calcular a inclinação entre os dois primeiros pontos: (6, 4) e (3, 2).
Usando a fórmula:
m1 = 2 - 43 - 6 = -2-3 = 23
Então, a inclinação m₁ é 2/3.

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação entre o segundo ponto (3, 2) e o terceiro ponto (a, -2). Usando a mesma fórmula:
m2 = -2 - 2a - 3 = -4a - 3

Passo 5

Como queremos que as três figuras estejam na mesma reta, as inclinações m₁ e m₂ devem ser iguais. Então, igualamos as duas expressões:
23 = -4a - 3

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de a. Primeiro, fazemos o produto cruzado:
2(a - 3) = 3(-4)
Simplificando:
2a - 6 = -12

Passo 7

Agora, isolamos a:
2a = -12 + 6 2a = -6 a = -62 a = -3

Resposta

O valor de a que faz os pontos serem colineares é -3.

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