Obtenha o centro e o raio da circunferência em cada caso: x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de uma circunferência: x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0²². A gente vai usar a geometria analítica, especificamente o método de completar o quadrado, pra achar o centro e o raio dessa circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos de x e de y juntos e deixar o número do lado direito:
x² - 2x + y² + 4y = 4²²

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o termo de x. Olha, para x² - 2x², pegamos o coeficiente de x que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(-22)^2 = 1
Então, adicionamos 1 e subtraímos 1 para manter a equação balanceada:
x² - 2x + 1 - 1 ²
Isso fica:
(x - 1)^2 - 1

Passo 4

Vamos fazer a mesma coisa para o termo de y. Para y² + 4y², pegamos o coeficiente de y que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(42)^2 = 4
Então, adicionamos 4 e subtraímos 4:
y² + 4y + 4 - 4 ²
Isso fica:
(y + 2)^2 - 4

Passo 5

Agora, vamos substituir essas partes na equação original:
(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 = 4
Juntando os números:
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 5 = 4
A gente move o -5 pra direita:
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9

Passo 6

Prontinho! A equação está na forma padrão da circunferência:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Comparando, temos:
h = 1, k = -2, r² = 9 ²
Então, o centro é (1, -2) e o raio é raiz9 = 3.

Resposta

O centro da circunferência é (1, -2) e o raio é 3.

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