Determine o valor de:
prodi=1^n[1-1(i+1)^2]

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa calcular o valor do produto:
prodi=1^n[1 - 1(i+1)^2]
Esse exercício envolve conceitos de sequências e produtos matemáticos. Vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e simplificar produtos para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do produto:
1 - 1(i+1)^2
Para simplificar isso, podemos escrever 1 - 1(i+1)^2 = (i+1)^2 - 1(i+1)^2 como , assim:

Passo 3

Agora, vamos expandir o numerador:
(i+1)^2 - 1 = i^2 + 2i + 1 - 1 = i^2 + 2i
Então, a expressão fica:
i^2 + 2i(i+1)^2 = i(i + 2)(i + 1)^2

Passo 4

Agora, substituímos de volta no produto original:
prodi=1^n[1 - 1(i+1)^2] = prodi=1^n i(i + 2)(i + 1)^2
Podemos separar esse produto em duas partes:
prodi=1^n ii + 1 cdot prodi=1^n i + 2i + 1

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeira parte:
prodi=1^n ii + 1 = 12 cdot 23 cdot 34 cdots nn + 1 = 1n + 1
Isso porque todos os termos se cancelam, restando apenas prodi=1^n i + 2i + 1 = 32 cdot 43 cdot 54 cdots n + 2n + 1 = n + 22 .
Segunda parte:
Novamente, os termos internos se cancelam, sobrando .

Passo 6

Agora, multiplicamos as duas partes que calculamos:
1n + 1 cdot n + 22 = n + 22(n + 1)

Resposta

Portanto, o valor do produto é:
prodi=1^n[1 - 1(i+1)^2] = n + 22(n + 1)

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