Verifique se as afirmações são verdadeiras:
prodj=1^n jprodk=1^p k=prodi=1^n-p(p+i), n>p

Passo 1

Resumo do enunciado: Precisamos verificar se a igualdade
prodj=1^n jprodk=1^p k = prodi=1^n-p (p + i), onde n > p
é verdadeira.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com produtos de termos (produtórios), propriedades de fatoriais e simplificação de expressões algébricas.
Precisaremos: Conhecimento sobre fatoriais, propriedades de cancelamento em frações e manipulação de expressões matemáticas.

Passo 2

Vamos analisar o lado esquerdo da igualdade:
prodj=1^n jprodk=1^p k = n!p!
Aqui, (fatorial de n) representa o produto de todos os inteiros de 1 até n, e é o fatorial de p.

Passo 3

Agora, observamos o lado direito da igualdade:
prodi=1^n-p (p + i)
Esse produto significa multiplicar os termos começando de (p + 1) times (p + 2) times dots times n até , ou seja:

Passo 4

Vamos relacionar os dois lados da igualdade. Sabemos que:
n! = 1 times 2 times dots times p times (p + 1) times dots times n
E:
p! = 1 times 2 times dots times p
Portanto, podemos simplificar:
n!p! = 1 times 2 times dots times p times (p + 1) times dots times n1 times 2 times dots times p = (p + 1) times (p + 2) times dots times n
Isso mostra que:
n!p! = prodi=1^n-p (p + i)

Resposta

A igualdade é verdadeira, ou seja,
prodj=1^n jprodk=1^p k = prodi=1^n-p (p + i), n > p

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