Determine o valor dos seguintes limites: lim x 1 raizx+1-raiz2raiz7-raiz5 x+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 1 raizx+1-raiz2raiz7-raiz5 x+2. Esse exercício envolve o cálculo de limites usando propriedades de funções radicais. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões que dão a forma indeterminada 00 e vamos usar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver esse tipo de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x = 1 diretamente na expressão:
No numerador: raiz1+1 - raiz2 = raiz2 - raiz2 = 0
No denominador: raiz7 - raiz5 cdot 1 + 2 = raiz7 - raiz7 = 0
Então, temos a forma indeterminada 00, o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty, então podemos calcular o limite como limx to a f'(x)g'(x), desde que as derivadas existam.
Aplicando isso ao nosso limite:
f(x) = raizx+1 - raiz2
g(x) = raiz7 - raiz5x+2
Vamos calcular as derivadas de f(x) e g(x) em relação a x.

Passo 4

Calculando a derivada de f(x):
f(x) = raizx+1 - raiz2
A derivada de raizx+1 é 12raizx+1 e a derivada de raiz2 é 0 (já que é uma constante).
Então,
f'(x) = 12raizx+1

Passo 5

Calculando a derivada de g(x):
g(x) = raiz7 - raiz5x+2
A derivada de raiz7 é 0 e a derivada de raiz5x+2 é 52raiz5x+2.
Então,
g'(x) = -52raiz5x+2

Passo 6

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos as derivadas no limite:
lim x 1 f'(x)g'(x) = lim x 1 12raizx+1-52raiz5x+2 = lim x 1 12raizx+1 cdot 2raiz5x+2-5 = lim x 1 raiz5x+2-5raizx+1

Passo 7

Agora, substituímos x = 1 na expressão simplificada:
raiz5 cdot 1 + 2-5raiz1+1 = raiz7-5raiz2 = -raiz75raiz2

Resposta

O valor do limite é -dfracraiz75raiz2.

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