Quais são: a equação e a equação na forma paramétrica no sitema S=O, x, y da elipse com vértices pm(3,4), centro O=(0,0) e b=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação e a forma paramétrica de uma elipse no sistema de coordenadas . Sabemos que a elipse tem vértices em , centro em e . Vamos usar conceitos de geometria analítica para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os elementos que definem uma elipse. A forma padrão da equação de uma elipse alinhada aos eixos coordenados é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Aqui, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor. No nosso caso, , mas precisamos encontrar .

Passo 3

Os vértices da elipse estão localizados a uma distância raiz(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 do centro. Dado que os vértices são e , podemos calcular a distância desses pontos até o centro usando a fórmula da distância:
Então, .

Passo 4

Agora que temos x^25^2 + y^22^2 = 1 Rightarrow x^225 + y^24 = 1 e , podemos substituir esses valores na equação padrão da elipse:

Passo 5

Essa é a equação da elipse alinhada aos eixos coordenados. Mas, como os vértices estão em theta = arctan(43) e , a elipse não está alinhada aos eixos padrão. Precisamos rotacioná-la.
A inclinação da linha que passa pelos vértices é dada por:

Passo 6

Para uma elipse rotacionada, a equação geral é:
(x cos theta + y sin theta)^2a^2 + (-x sin theta + y cos theta)^2b^2 = 1
Substituindo (x cos theta + y sin theta)^225 + (-x sin theta + y cos theta)^24 = 1 , e :

Passo 7

Para a forma paramétrica, usamos as seguintes equações para uma elipse rotacionada:
x = a cos t cos theta - b sin t sin theta y = a cos t sin theta + b sin t cos theta
Substituindo x = 5 cos t cos theta - 2 sin t sin theta y = 5 cos t sin theta + 2 sin t cos theta , e :

Resposta

A equação da elipse é:
(x cos theta + y sin theta)^225 + (-x sin theta + y cos theta)^24 = 1
onde x = 5 cos t cos theta - 2 sin t sin theta y = 5 cos t sin theta + 2 sin t cos theta .
A forma paramétrica da elipse é:
com e variando de a .

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