Quais são: a equação e a equação na forma paramétrica no sitema
da elipse com vértices
, centro
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação e a forma paramétrica de uma elipse no sistema de coordenadas
. Sabemos que a elipse tem vértices em
, centro em
e
. Vamos usar conceitos de geometria analítica para chegar nas respostas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender os elementos que definem uma elipse. A forma padrão da equação de uma elipse alinhada aos eixos coordenados é:
Aqui,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor. No nosso caso,
, mas precisamos encontrar
.
Passo 3
Os vértices da elipse estão localizados a uma distância
do centro. Dado que os vértices são
e
, podemos calcular a distância desses pontos até o centro usando a fórmula da distância:
Então,
.
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos substituir esses valores na equação padrão da elipse:
Passo 5
Essa é a equação da elipse alinhada aos eixos coordenados. Mas, como os vértices estão em
e
, a elipse não está alinhada aos eixos padrão. Precisamos rotacioná-la.
A inclinação da linha que passa pelos vértices é dada por:
Passo 6
Para uma elipse rotacionada, a equação geral é:
Substituindo
,
e
:
Passo 7
Para a forma paramétrica, usamos as seguintes equações para uma elipse rotacionada:
Substituindo
,
e
:
Resposta
A equação da elipse é:
onde
.
A forma paramétrica da elipse é:
com
e
variando de
a
.