Uma linha de metrô retilínea e suspensa passa pelos pontos e . Uma segunda linha de metrô retilínea e suspensa passa pelos pontos e . Deseja-se construir uma conexão (passarela) com o menor comprimento possível conectando as duas linhas de metrô. Qual o comprimento dessa passarela? Em quais pontos de cada linha a passarela deve ser construída?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas linhas de metrô no espaço tridimensional, cada uma definida por dois pontos:
Primeira linha passa por e .
Segunda linha passa por e .
Nosso objetivo é encontrar a passarela mais curta que conecta essas duas linhas, ou seja, a menor distância entre elas, e identificar os pontos específicos em cada linha onde essa passarela deve ser construída. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, especialmente sobre a distância entre duas retas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as equações paramétricas de cada linha. Para isso, vamos identificar os vetores diretores das linhas:
Para a linha AB:
Ponto
Vetor diretor
Então, a equação paramétrica da linha AB é:
Onde t é o parâmetro.
Para a linha CD:
Ponto C(2,0,2)
Vetor diretor v = D - C = (2-2, 4-0, 2-2) = (0,4,0)
A equação paramétrica da linha CD é:
x = 2 y = 0 + s z = 2
Onde s é o parâmetro.
Passo 3
Agora, para encontrar a menor distância entre as duas linhas, precisamos verificar se elas são paralelas, coincidentes ou se cruzam. Se não forem paralelas e não se cruzarem, elas são “skew”, ou seja, retas que não estão no mesmo plano e não se interceptam.
Vamos calcular o produto vetorial dos vetores diretores u e v para verificar o ângulo entre elas:
Então, a distância mínima entre as duas linhas é 2 unidades.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar os pontos exatos em cada linha onde essa distância mínima ocorre. Para isso, vamos resolver um sistema de equações baseado nas equações paramétricas das linhas e na condição de que o vetor que liga esses pontos seja perpendicular aos vetores diretores das linhas.
Vamos supor que os pontos mais próximos sejam P(t) na linha AB e Q(s) na linha CD.
As equações são:
xP = 4 yP = 3 + t zP = 3 + t
xQ = 2 yQ = s zQ = 2
A condição de perpendicularidade é que PQ seja perpendicular a u e v:
PQ = Q - P = (2-4, s - (3 + t), 2 - (3 + t)) = (-2, s - 3 - t, -1 - t)
Então:
PQ cdot u = 0 Rightarrow (-2)(0) + (s - 3 - t)(1) + (-1 - t)(1) = 0 Rightarrow s - 3 - t -1 - t = 0 Rightarrow s - 4 - 2t = 0
PQ cdot v = 0 Rightarrow (-2)(0) + (s - 3 - t)(4) + (-1 - t)(0) = 0 Rightarrow 4(s - 3 - t) = 0 Rightarrow s - 3 - t = 0
Passo 7
Temos o seguinte sistema de equações:
s - 4 - 2t = 0 s - 3 - t = 0
Vamos resolver:
Da segunda equação:
s = 3 + t
Substituindo na primeira equação:
(3 + t) - 4 - 2t = 0 Rightarrow -1 - t = 0 Rightarrow t = -1
Então:
s = 3 + (-1) = 2
Passo 8
Agora, substituímos os valores de t e s nas equações paramétricas para encontrar os pontos P e Q:
Para P(t) na linha AB:
xP = 4 yP = 3 + (-1) = 2 zP = 3 + (-1) = 2
Então, P = (4, 2, 2)
Para Q(s) na linha CD:
xQ = 2 yQ = 2 zQ = 2
Então, Q = (2, 2, 2)
Resposta
A passarela mais curta tem comprimento igual a 2 unidades e deve ser construída entre os pontos P(4,2,2) na linha AB e Q(2,2,2) na linha CD.