Determine o valor de a para o qual o sistema
l x+y+2 z=a z+2 y+a z=2 2 x+3 y+(4+a) z=3 a+1
é compatível.

Passo 1

O exercício pede para a gente encontrar o valor de que torna o sistema de equações dado compatível, ou seja, que tenha pelo menos uma solução. Vamos usar conceitos de sistemas de equações lineares e determinantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
x + y + 2z = a z + 2y + a z = 2 2x + 3y + (4 + a) z = 3a + 1
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de esse sistema tem solução.

Passo 3

Para determinar se o sistema é compatível, vamos verificar o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única. Se for zero, precisamos analisar mais detalhadamente.
A matriz dos coeficientes é:
1 & 1 & 2 0 & 2 & 1 + a 2 & 3 & 4 + a

Passo 4

Calculando o determinante dessa matriz:
1 & 1 & 2 0 & 2 & 1 + a 2 & 3 & 4 + a
Usando a regra de Sarrus ou co-fatores, temos:
|M| = 1 cdot (2 cdot (4 + a) - 3 cdot (1 + a)) - 1 cdot (0 cdot (4 + a) - 2 cdot (1 + a)) + 2 cdot (0 cdot 3 - 2 cdot 2)
Simplificando:
|M| = 1 cdot (8 + 2a - 3 - 3a) - 1 cdot (-2 - 2a) + 2 cdot (-4)
|M| = (5 - a) + (2 + 2a) - 8 = a - 1

Passo 5

O determinante é .
  • Se (ou seja, ), o determinante é diferente de zero, o que significa que o sistema tem uma solução única e, portanto, é compatível.
  • Se (ou seja, ), o determinante é zero. Nesse caso, precisamos verificar se o sistema é compatível ou não.

Passo 6

Vamos analisar quando x + y + 2z = 1 2y + 2z = 2 2x + 3y + 5z = 4 :
Substituindo y + z = 1 Rightarrow y = 1 - z nas equações:
x + (1 - z) + 2z = 1 Rightarrow x + 1 + z = 1 Rightarrow x = -z
Da segunda equação, podemos simplificar:
2(-z) + 3(1 - z) + 5z = 4 Rightarrow -2z + 3 - 3z + 5z = 4 Rightarrow 0z + 3 = 4
Substituindo na primeira equação:
Substituindo e na terceira equação:
Isso resulta em , o que é impossível. Portanto, quando , o sistema não tem solução.

Resposta

O sistema é compatível para todo valor de diferente de 1. Ou seja, .

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