Determine o valor de para o qual o sistema
é compatível.

Passo 1

O exercício pede para a gente encontrar o valor de que torna o sistema de equações dado compatível, ou seja, que tenha pelo menos uma solução. Vamos usar conceitos de sistemas de equações lineares e determinantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de esse sistema tem solução.

Passo 3

Para determinar se o sistema é compatível, vamos verificar o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única. Se for zero, precisamos analisar mais detalhadamente.
A matriz dos coeficientes é:

Passo 4

Calculando o determinante dessa matriz:
Usando a regra de Sarrus ou co-fatores, temos:
Simplificando:

Passo 5

O determinante é .
  • Se (ou seja, ), o determinante é diferente de zero, o que significa que o sistema tem uma solução única e, portanto, é compatível.
  • Se (ou seja, ), o determinante é zero. Nesse caso, precisamos verificar se o sistema é compatível ou não.

Passo 6

Vamos analisar quando :
Substituindo nas equações:
Da segunda equação, podemos simplificar:
Substituindo na primeira equação:
Substituindo e na terceira equação:
Isso resulta em , o que é impossível. Portanto, quando , o sistema não tem solução.

Resposta

O sistema é compatível para todo valor de diferente de 1. Ou seja, .

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a) -24
b) 1
c) 0
d) -1
e) -24
Resposta: d)
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