O exercício pede para a gente encontrar o valor de que torna o sistema de equações dado compatível, ou seja, que tenha pelo menos uma solução. Vamos usar conceitos de sistemas de equações lineares e determinantes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de esse sistema tem solução.
Passo 3
Para determinar se o sistema é compatível, vamos verificar o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única. Se for zero, precisamos analisar mais detalhadamente.
A matriz dos coeficientes é:
Passo 4
Calculando o determinante dessa matriz:
Usando a regra de Sarrus ou co-fatores, temos:
Simplificando:
Passo 5
O determinante é .
Se (ou seja, ), o determinante é diferente de zero, o que significa que o sistema tem uma solução única e, portanto, é compatível.
Se (ou seja, ), o determinante é zero. Nesse caso, precisamos verificar se o sistema é compatível ou não.
Passo 6
Vamos analisar quando :
Substituindo nas equações:
Da segunda equação, podemos simplificar:
Substituindo na primeira equação:
Substituindo e na terceira equação:
Isso resulta em , o que é impossível. Portanto, quando , o sistema não tem solução.
Resposta
O sistema é compatível para todo valor de diferente de 1. Ou seja, .