Resolva os sistemas lineares pelo método da substituição:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método da substituição. O enunciado nos dá três equações com três incógnitas: , e . Para resolver isso, vamos precisar isolar uma das variáveis em uma das equações e depois substituir esse valor nas outras equações, repetindo o processo até encontrar os valores de todas as incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma das equações e isolar uma variável. Vamos pegar a segunda equação:
x - 2y + 2z = 3
Vamos isolar o x = 2y - 2z + 3 :
Agora temos em termos de e .
Passo 3
Agora que temos 2(2y - 2z + 3) + 3y - z = 7 expresso como 4y - 4z + 6 + 3y - z = 7 , vamos substituir esse valor na primeira e na terceira equação para eliminar 7y - 5z + 6 = 7 .
Substituindo na primeira equação:
7y - 5z = 1
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Subtraindo 6 de ambos os lados:
Passo 4
Agora, vamos substituir 3(2y - 2z + 3) + y - 3z = 8 na terceira equação:
6y - 6z + 9 + y - 3z = 8
Expandindo:
7y - 9z + 9 = 8
Agrupando termos semelhantes:
7y - 9z = -1
Subtraindo 9 de ambos os lados:
Passo 5
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
l 7y - 5z = 1 7y - 9z = -1
Vamos resolver esse sistema para encontrar (7y - 5z) - (7y - 9z) = 1 - (-1) e 4z = 2 .
Primeiro, vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar z = 24 = 12 :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 4:
Passo 6
Agora que sabemos que 7y - 5(12) = 1 , vamos substituir esse valor em uma das equações para encontrar 7y - 52 = 1 . Vamos usar a primeira equação:
7y = 1 + 52 = 72
Calculando:
y = 72 times 7 = 12
Adicionando aos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 7:
Passo 7
Agora que temos x = 2(12) - 2(12) + 3 e x = 1 - 1 + 3 = 3 , vamos substituir esses valores na expressão que encontramos para :