Resolva os sistemas lineares pelo método da eliminação Gaussiana:
Passo 1
Beleza, a gente tem um sistema de equações lineares e vamos resolver usando o método da eliminação Gaussiana. Esse método basicamente ajuda a simplificar o sistema passo a passo até achar os valores de , e . Para isso, vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e fazer operações que eliminem uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita visualizar as operações que vamos precisar fazer.
Passo 3
O próximo passo é eliminar a variável das equações de baixo, ou seja, das segundas e terceiras linhas. Vamos fazer isso usando a primeira linha como referência.
Primeiro, vamos eliminar da segunda linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da segunda linha:
Calculando:
Então, a segunda linha fica:
Agora, vamos eliminar da terceira linha. Multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da terceira linha:
Calculando:
A terceira linha fica então:
A matriz agora fica:
Passo 4
Agora vamos eliminar a variável da terceira linha usando a segunda linha como referência. Primeiro, vamos achar um múltiplo da segunda linha que facilite a eliminação.
Podemos multiplicar a segunda linha por e somar com a terceira linha:
Calculando:
Então, a terceira linha fica:
A matriz agora é:
Passo 5
Vamos simplificar a terceira linha para facilitar. Podemos multiplicar a terceira linha por para tornar o coeficiente de igual a 1:
Calculando:
Então, a terceira linha fica:
A matriz atualizada:
Passo 6
Agora, vamos resolver para a partir da terceira linha:
Podemos reescrever isso como:
Passo 7
Vamos substituir o valor de encontrado na segunda linha para resolver para . A segunda linha é:
Substituindo :
Multiplicando:
Simplificando:
Passo 8
Com o valor de , vamos encontrar usando a equação que encontramos no Passo 6:
Substituindo :
Passo 9
Agora que temos e , vamos encontrar usando a primeira equação do sistema: