Resolva os sistemas lineares pelo método da eliminação Gaussiana:
Passo 1
Beleza, a gente tem um sistema de equações lineares e vamos resolver usando o método da eliminação Gaussiana. Esse método basicamente ajuda a simplificar o sistema passo a passo até achar os valores de , e . Para isso, vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e fazer operações que eliminem uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita visualizar as operações que vamos precisar fazer.
O próximo passo é eliminar a variável Linha 2 = Linha 2 - (32 times Linha 1) das equações de baixo, ou seja, das segundas e terceiras linhas. Vamos fazer isso usando a primeira linha como referência.
Primeiro, vamos eliminar 3 - (32 times 2) = 3 - 3 = 0 da segunda linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por -1 - (32 times 1) = -1 - 32 = -52 e subtraímos da segunda linha:
2 - (32 times (-1)) = 2 + 32 = 72
Calculando:
5 - (32 times 4) = 5 - 6 = -1
0 -52 72 | -1
Linha 3 = Linha 3 - (12 times Linha 1)
1 - (12 times 2) = 1 - 1 = 0
Então, a segunda linha fica:
2 - (12 times 1) = 2 - 12 = 32
Agora, vamos eliminar 3 - (12 times (-1)) = 3 + 12 = 72 da terceira linha. Multiplicamos a primeira linha por 1 - (12 times 4) = 1 - 2 = -1 e subtraímos da terceira linha:
Agora vamos eliminar a variável Linha 3 = Linha 3 + (32 times Linha 2) da terceira linha usando a segunda linha como referência. Primeiro, vamos achar um múltiplo da segunda linha que facilite a eliminação.
Podemos multiplicar a segunda linha por 0 + 0 = 0 e somar com a terceira linha:
Vamos simplificar a terceira linha para facilitar. Podemos multiplicar a terceira linha por Linha 3 = 4-9 times Linha 3 para tornar o coeficiente de 0 times 4-9 = 0 igual a 1:
Agora, vamos resolver para 1 cdot y - 359 z = 109 a partir da terceira linha:
y = 359 z + 109
Podemos reescrever isso como:
Passo 7
Vamos substituir o valor de -52 y + 72 z = -1 encontrado na segunda linha para resolver para -52 ( 359 z + 109 ) + 72 z = -1 . A segunda linha é:
-17518 z - 5018 + 72 z = -1
Substituindo -17518 z + 6318 z - 5018 = -1 :
-11218 z - 5018 = -1
Multiplicando:
-11218 z = -1 + 5018
Simplificando:
-11218 z = -1818 + 5018
-11218 z = 3218
z = 3218 div ( -11218 ) = -32112 = -27
Passo 8
Com o valor de y = 359 z + 109 , vamos encontrar y = 359 times ( -27 ) + 109 = -7063 + 109 = -109 + 109 = 0 usando a equação que encontramos no Passo 6:
Substituindo :
Passo 9
Agora que temos 2x + y - z = 4 e 2x + 0 - ( -27 ) = 4 , vamos encontrar 2x + 27 = 4 usando a primeira equação do sistema: