A soma de todos os valores possíveis para tais que seja LD é
a) -24
b) 1
c) 0
d) -1
e) -24
Resposta: d)
Passo 1
No enunciado, temos três vetores no espaço tridimensional:
Queremos encontrar todos os valores reais de que fazem com que o conjunto desses vetores seja linearmente dependente (LD). Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de determinante de uma matriz formada pelos vetores e verificar quando esse determinante é zero, indicando dependência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos montar uma matriz cujas colunas sejam os vetores , e :
A ideia é calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz :
Calculando cada menor:
Substituindo de volta no determinante:
Passo 4
Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser igual a zero:
Vamos reorganizar a equação:
Multiplicando todos os termos por para facilitar:
Agora, podemos simplificar dividindo por 2:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e . Calculando o discriminante:
Então, as soluções são:
Passo 6
Os valores de que tornam os vetores linearmente dependentes são: