u=(1, m, 0), v=(2 m, 1, m) e w=(0,4,2)
A soma de todos os valores possíveis para m in R tais que u, v, w seja LD é
a) -24
b) 1
c) 0
d) -1
e) -24
Resposta: d)

Passo 1

No enunciado, temos três vetores no espaço tridimensional:
u = (1, m, 0), v = (2m, 1, m), w = (0, 4, 2)
Queremos encontrar todos os valores reais de que fazem com que o conjunto desses vetores seja linearmente dependente (LD). Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de determinante de uma matriz formada pelos vetores e verificar quando esse determinante é zero, indicando dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz cujas colunas sejam os vetores A = 1 & 2m & 0 m & 1 & 4 0 & m & 2 , e :
A ideia é calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 1 cdot 1 & 4 m & 2 - 2m cdot m & 4 0 & 2 + 0 cdot m & 1 0 & m :
1 & 4 m & 2 = (1)(2) - (4)(m) = 2 - 4m
Calculando cada menor:
m & 4 0 & 2 = (m)(2) - (4)(0) = 2m
m & 1 0 & m = (m)(m) - (1)(0) = m^2
det(A) = 1 cdot (2 - 4m) - 2m cdot (2m) + 0 cdot m^2 = 2 - 4m - 4m^2
Substituindo de volta no determinante:

Passo 4

Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser igual a zero:
2 - 4m - 4m^2 = 0
Vamos reorganizar a equação:
-4m^2 - 4m + 2 = 0
Multiplicando todos os termos por 4m^2 + 4m - 2 = 0 para facilitar:
2m^2 + 2m - 1 = 0
Agora, podemos simplificar dividindo por 2:

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática m = -b pm raizb^2 - 4ac2a usando a fórmula de Bhaskara:
De
Onde m = -2 pm raiz124 = -2 pm 2raiz34 = -1 pm raiz32 , , e . Calculando o discriminante:
Então, as soluções são:

Passo 6

Os valores de m = -1 + raiz32 e m = -1 - raiz32 que tornam os vetores linearmente dependentes são:
-1 + raiz32 + -1 - raiz32 = -1 -12 = -22 = -1
Queremos a soma de todos esses valores:

Resposta

d) -1

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