Sabendo que a matriz é simétrica, determine os valores de x, y e z.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz S que precisa ser simétrica. Isso quer dizer que, para que a matriz seja simétrica, os elementos acima da diagonal principal devem ser iguais aos correspondentes abaixo dela. Para fazer isso, vamos precisar comparar os elementos S12 com S21, S13 com S31 e S23 com S32. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os elementos que precisamos igualar para tornar a matriz simétrica. Olhando para a matriz S:
S = 1 & x + 2y & z - 4 4 & 5 & 5 3z + 6 & 3x - y & 0
Precisamos igualar:
S12 = x + 2y com S21 = 4
S13 = z - 4 com S31 = 3z + 6
S23 = 5 com S32 = 3x - y
Passo 3
Agora, vamos resolver cada uma dessas igualdades uma por uma para encontrar os valores de x, y e z.
Primeira igualdade:
x + 2y = 4
Essa é a nossa primeira equação.
Passo 4
Segunda igualdade:
z - 4 = 3z + 6
Vamos resolver essa equa�o para encontrar z.
Subtraindo z de ambos os lados:
-4 = 2z + 6
Subtraindo 6 de ambos os lados:
-10 = 2z
Dividindo ambos os lados por 2:
z = -5
Passo 5
Terceira igualdade:
5 = 3x - y
Essa é a nossa terceira equação.
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
x + 2y = 4 3x - y = 5
Vamos resolver esse sistema para encontrar x e y.
Passo 6
Vamos usar o método de substituição. Da primeira equação: