Sabendo que a matriz S=(ccc1 & x+2 y & z-4 4 & 5 & 5 3 z+6 & 3 x-y & 0) é simétrica, determine os valores de x, y e z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz S que precisa ser simétrica. Isso quer dizer que, para que a matriz seja simétrica, os elementos acima da diagonal principal devem ser iguais aos correspondentes abaixo dela. Para fazer isso, vamos precisar comparar os elementos S12 com S21, S13 com S31 e S23 com S32. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos que precisamos igualar para tornar a matriz simétrica. Olhando para a matriz S:
S = 1 & x + 2y & z - 4 4 & 5 & 5 3z + 6 & 3x - y & 0
Precisamos igualar:
  1. S12 = x + 2y com S21 = 4
  2. S13 = z - 4 com S31 = 3z + 6
  3. S23 = 5 com S32 = 3x - y

Passo 3

Agora, vamos resolver cada uma dessas igualdades uma por uma para encontrar os valores de x, y e z.
Primeira igualdade:
x + 2y = 4
Essa é a nossa primeira equação.

Passo 4

Segunda igualdade:
z - 4 = 3z + 6
Vamos resolver essa equa�o para encontrar z.
Subtraindo z de ambos os lados:
-4 = 2z + 6
Subtraindo 6 de ambos os lados:
-10 = 2z
Dividindo ambos os lados por 2:
z = -5

Passo 5

Terceira igualdade:
5 = 3x - y
Essa é a nossa terceira equação.
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
x + 2y = 4 3x - y = 5
Vamos resolver esse sistema para encontrar x e y.

Passo 6

Vamos usar o método de substituição. Da primeira equação:
x = 4 - 2y
Agora, substituímos x na segunda equação:
3(4 - 2y) - y = 5 12 - 6y - y = 5 12 - 7y = 5
Subtraindo 12 de ambos os lados:
-7y = -7
Dividindo por -7:
y = 1
Agora, substituindo y = 1 na expressão para x:
x = 4 - 2(1) = 2

Resposta

Os valores que tornam a matriz S simétrica são:
x = 2, y = 1, z = -5

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