Determine um valor de suficiente para que , para , onde é o polinômio de Taylor expandido em torno de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos um valor de tal que a diferença entre e o polinômio de Taylor seja menor ou igual a no intervalo de . Estamos lidando com polinômios de Taylor aqui, que são usados para aproximar funções através de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Para uma função expandida em torno de (também conhecido como série de Maclaurin), o polinômio de Taylor de ordem é dado por:
No caso de , todas as derivadas são iguais a , e avaliadas em são . Então, o polinômio fica:

Passo 3

Agora, precisamos entender a estimativa do erro entre a função original e o polinômio de Taylor. O termo de resto ou erro para a série de Taylor é dado por:
Onde está entre e . Para , temos . Como para , podemos simplificar a estimativa do erro:

Passo 4

Queremos que esse erro seja menor ou igual a para todo no intervalo . Como nesse intervalo, a condição se torna:
Agora, precisamos encontrar o menor que satisfaz essa desigualdade.

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade:
Sabemos que , então:
Agora, vamos calcular para diferentes valores de até alcançar ou superar 271828.

Passo 6

Calculando factorials:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Vimos que é maior que 271828. Portanto, satisfaz a desigualdade, o que significa que .

Resposta

Exercícios relacionados

Use o polinômio de Taylor para mostrar que
para inteiro e onde é o coeficiente binomial.
(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função , expandido em torno de .
Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto para as seguintes funções:
©
Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de de grau para as seguintes funções:
(b)