Determine um valor de
suficiente para que
, para
, onde
é o polinômio de Taylor expandido em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos um valor de
tal que a diferença entre
e o polinômio de Taylor
seja menor ou igual a
no intervalo de
. Estamos lidando com polinômios de Taylor aqui, que são usados para aproximar funções através de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Para uma função
expandida em torno de
(também conhecido como série de Maclaurin), o polinômio de Taylor de ordem
é dado por:
No caso de
, todas as derivadas são iguais a
, e avaliadas em
são
. Então, o polinômio fica:
Passo 3
Agora, precisamos entender a estimativa do erro entre a função original e o polinômio de Taylor. O termo de resto ou erro
para a série de Taylor é dado por:
Onde
está entre
e
. Para
, temos
. Como
para
, podemos simplificar a estimativa do erro:
Passo 4
Queremos que esse erro seja menor ou igual a
para todo
no intervalo
. Como
nesse intervalo, a condição se torna:
Agora, precisamos encontrar o menor
que satisfaz essa desigualdade.
Passo 5
Vamos resolver a desigualdade:
Sabemos que
, então:
Agora, vamos calcular
para diferentes valores de
até alcançar ou superar 271828.
Passo 6
Calculando factorials:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 7
Vimos que
é maior que 271828. Portanto,
satisfaz a desigualdade, o que significa que
.
Resposta
Exercícios relacionados
Use o polinômio de Taylor para mostrar que
para
inteiro e onde
é o coeficiente binomial.
(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função
, expandido em torno de
.
Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto
para as seguintes funções:
©
©
Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de
de grau
para as seguintes funções:
(b)
(b)