(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função , expandido em torno de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os polinômios de Taylor de grau 1, 2, 3 e 4 para a função , expandido em torno de . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente na área de séries de Taylor. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição do polinômio de Taylor e como calcular as derivadas da função no ponto .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. O polinômio de Taylor de grau para uma função em torno do ponto é dado por:
Como no nosso caso , a fórmula simplifica para:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de até a ordem no ponto .
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas de . Observamos que:
A primeira derivada é:
A segunda derivada é:
A terceira derivada é:
E a quarta derivada é:
Notamos que as derivadas se repetem a cada ordem ímpar e par.
Passo 4
Agora, vamos calcular cada derivada no ponto :
Passo 5
Com esses valores, podemos construir os polinômios de Taylor para cada grau solicitado.