(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função , expandido em torno de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os polinômios de Taylor de grau 1, 2, 3 e 4 para a função , expandido em torno de . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente na área de séries de Taylor. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição do polinômio de Taylor e como calcular as derivadas da função no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. O polinômio de Taylor de grau para uma função em torno do ponto é dado por:
Como no nosso caso , a fórmula simplifica para:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de até a ordem no ponto .

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de . Observamos que:
A primeira derivada é:
A segunda derivada é:
A terceira derivada é:
E a quarta derivada é:
Notamos que as derivadas se repetem a cada ordem ímpar e par.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada derivada no ponto :

Passo 5

Com esses valores, podemos construir os polinômios de Taylor para cada grau solicitado.
Para :
Para :
Para :
Para :

Resposta

Os polinômios de Taylor para em torno de são:

Exercícios relacionados

Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de de grau para as seguintes funções:
(a)
(a) Obtenha uma expansão usando polinômios de Taylor para , em torno do ponto . (Dica: Use a expansão em polinômio de Taylor para desenvolvida no exercício acima aplicada no ponto .)
Use o polinômio de Taylor para mostrar que
para inteiro e onde é o coeficiente binomial.
Determine um valor de suficiente para que , para , onde é o polinômio de Taylor expandido em torno de .