(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função
, expandido em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os polinômios de Taylor de grau 1, 2, 3 e 4 para a função
, expandido em torno de
. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente na área de séries de Taylor. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição do polinômio de Taylor e como calcular as derivadas da função
no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. O polinômio de Taylor de grau
para uma função
em torno do ponto
é dado por:
Como no nosso caso
, a fórmula simplifica para:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de
até a ordem
no ponto
.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas de
. Observamos que:
A primeira derivada é:
A segunda derivada é:
A terceira derivada é:
E a quarta derivada é:
Notamos que as derivadas se repetem a cada ordem ímpar e par.
Passo 4
Agora, vamos calcular cada derivada no ponto
:
Passo 5
Com esses valores, podemos construir os polinômios de Taylor para cada grau solicitado.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
Os polinômios de Taylor para
em torno de
são: