Use o polinômio de Taylor para mostrar que
(1+t)^n=sumj=0^nbinomnj t^j
para n inteiro e onde binomnj=n!(n-j)!j! é o coeficiente binomial.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos usar o polinômio de Taylor para demonstrar que:
(1 + t)^n = sumj=0^n binomnj t^j
Aqui, n é um número inteiro e binomnj é o coeficiente binomial, definido por binomnj = n!(n-j)!j!. Vamos precisar dos conceitos de polinômio de Taylor e de coeficientes binomiais para resolver este problema.

Passo 2

Vamos começar relembrando o que é o polinômio de Taylor. O polinômio de Taylor de uma função f(t) em torno de t=0 (também chamado de série de Maclaurin) é dado por:
f(t) = sumj=0^infty f^(j)(0)j! t^j
Neste caso, como queremos mostrar uma expressão para (1 + t)^n, vamos identificar f(t) = (1 + t)^n.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de f(t) = (1 + t)^n avaliadas em t=0. A derivada j-ésima de f(t) é:
f^(j)(t) = n(n-1)(n-2)dots(n-j+1)(1 + t)^n - j
Ao avaliarmos em t=0, temos:
f^(j)(0) = n(n-1)(n-2)dots(n-j+1)(1)^n - j = n!(n-j)!

Passo 4

Substituindo f^(j)(0) na fórmula do polinômio de Taylor, temos:
(1 + t)^n = sumj=0^n f^(j)(0)j! t^j = sumj=0^n n!(n-j)!j! t^j = sumj=0^n binomnj t^j
Onde usamos a definição de coeficiente binomial binomnj = n!(n-j)!j!.

Resposta

Portanto, mostramos que (1 + t)^n = sumj=0^n binomnj t^j utilizando o polinômio de Taylor.

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