Use o polinômio de Taylor para mostrar que
para
inteiro e onde
é o coeficiente binomial.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos usar o polinômio de Taylor para demonstrar que:
Aqui,
é um número inteiro e
é o coeficiente binomial, definido por
. Vamos precisar dos conceitos de polinômio de Taylor e de coeficientes binomiais para resolver este problema.
Passo 2
Vamos começar relembrando o que é o polinômio de Taylor. O polinômio de Taylor de uma função
em torno de
(também chamado de série de Maclaurin) é dado por:
Neste caso, como queremos mostrar uma expressão para
, vamos identificar
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
avaliadas em
. A derivada j-ésima de
é:
Ao avaliarmos em
, temos:
Passo 4
Substituindo
na fórmula do polinômio de Taylor, temos:
Onde usamos a definição de coeficiente binomial
.
Resposta
Portanto, mostramos que
utilizando o polinômio de Taylor.
Exercícios relacionados
(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função
, expandido em torno de
.
Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de
de grau
para as seguintes funções:
(a)
(a)
Determine um valor de
suficiente para que
, para
, onde
é o polinômio de Taylor expandido em torno de
.
Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto
para as seguintes funções:
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