Use o polinômio de Taylor para mostrar que
para inteiro e onde é o coeficiente binomial.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos usar o polinômio de Taylor para demonstrar que:
Aqui, é um número inteiro e é o coeficiente binomial, definido por . Vamos precisar dos conceitos de polinômio de Taylor e de coeficientes binomiais para resolver este problema.

Passo 2

Vamos começar relembrando o que é o polinômio de Taylor. O polinômio de Taylor de uma função em torno de (também chamado de série de Maclaurin) é dado por:
Neste caso, como queremos mostrar uma expressão para , vamos identificar .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de avaliadas em . A derivada j-ésima de é:
Ao avaliarmos em , temos:

Passo 4

Substituindo na fórmula do polinômio de Taylor, temos:
Onde usamos a definição de coeficiente binomial .

Resposta

Portanto, mostramos que utilizando o polinômio de Taylor.

Exercícios relacionados

(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função , expandido em torno de .
Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de de grau para as seguintes funções:
(a)
Determine um valor de suficiente para que , para , onde é o polinômio de Taylor expandido em torno de .
Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto para as seguintes funções:
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