Determine o valor de
tal que a função
admita um ponto de inflexão em
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar o valor de
para que a função
tenha um ponto de inflexão em
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a identificar pontos de inflexão nas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto de inflexão. Um ponto de inflexão é onde a concavidade da função muda, ou seja, a função passa de côncava para convexa ou vice-versa. Matematicamente, isso acontece onde a segunda derivada da função muda de sinal.
Passo 3
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada da função
. Vamos começar calculando a primeira derivada:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada:
Passo 5
Para que
seja um ponto de inflexão, a segunda derivada deve ser igual a zero nesse ponto. Então, substituímos
na segunda derivada:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação para encontrar o valor de
:
Resposta
O valor de
é
.
Exercícios relacionados
Verifique as condições do Teorema de Rolle e determine os valores
que correspondem à conclusão do teorema nos seguintes casos:
(a) , no intervalo
.
(b) , no intervalo
© , no intervalo
(a)
(b)
©
Encontre um ponto do gráfico de
, de modo que a reta tangente ao gráfico de
, nesse ponto, tenha coeficiente angular máximo.
Utilize a regra de L(a)
(b)
©
(d)
(b)
©
(d)
Mostre que
, onde
são constantes fixadas, não tem máximo ou mínimo se, e somente se,
.