Determine o valor de k tal que a função f(x) = x^3 + k x^2 + x + 1 admita um ponto de inflexão em x = 1.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o valor de para que a função tenha um ponto de inflexão em . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a identificar pontos de inflexão nas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto de inflexão. Um ponto de inflexão é onde a concavidade da função muda, ou seja, a função passa de côncava para convexa ou vice-versa. Matematicamente, isso acontece onde a segunda derivada da função muda de sinal.

Passo 3

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada da função . Vamos começar calculando a primeira derivada:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada:

Passo 5

Para que seja um ponto de inflexão, a segunda derivada deve ser igual a zero nesse ponto. Então, substituímos na segunda derivada:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação para encontrar o valor de :

Resposta

O valor de é .

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