Determine o valor de tal que a função admita um ponto de inflexão em .

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o valor de para que a função tenha um ponto de inflexão em . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a identificar pontos de inflexão nas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto de inflexão. Um ponto de inflexão é onde a concavidade da função muda, ou seja, a função passa de côncava para convexa ou vice-versa. Matematicamente, isso acontece onde a segunda derivada da função muda de sinal.

Passo 3

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada da função . Vamos começar calculando a primeira derivada:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada:

Passo 5

Para que seja um ponto de inflexão, a segunda derivada deve ser igual a zero nesse ponto. Então, substituímos na segunda derivada:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação para encontrar o valor de :

Resposta

O valor de é .

Exercícios relacionados

Verifique as condições do Teorema de Rolle e determine os valores que correspondem à conclusão do teorema nos seguintes casos:
(a) , no intervalo .
(b) , no intervalo
© , no intervalo
Encontre um ponto do gráfico de , de modo que a reta tangente ao gráfico de , nesse ponto, tenha coeficiente angular máximo.
Utilize a regra de L(a)
(b)
©
(d)
Mostre que , onde são constantes fixadas, não tem máximo ou mínimo se, e somente se, .