Determine o valor de
tal que a função
admita um ponto de inflexão em
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar o valor de
para que a função
tenha um ponto de inflexão em
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a identificar pontos de inflexão nas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto de inflexão. Um ponto de inflexão é onde a concavidade da função muda, ou seja, a função passa de côncava para convexa ou vice-versa. Matematicamente, isso acontece onde a segunda derivada da função muda de sinal.
Passo 3
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada da função
. Vamos começar calculando a primeira derivada:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada:
Passo 5
Para que
seja um ponto de inflexão, a segunda derivada deve ser igual a zero nesse ponto. Então, substituímos
na segunda derivada:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação para encontrar o valor de
:
Resposta
O valor de
é
.