Encontre um ponto do gráfico de
, de modo que a reta tangente ao gráfico de
, nesse ponto, tenha coeficiente angular máximo.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo:
Precisamos encontrar um ponto no gráfico da função
onde a reta tangente tem o coeficiente angular (inclinação) máximo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para determinar a inclinação da reta tangente e encontrar onde essa inclinação é máxima.
Passo 2
Encontrar a Derivada da Função
:
A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. Vamos calcular
:
Usando a regra do poder e a regra da cadeia:
Passo 3
Determinar Onde a Derivada é Máxima:
Queremos encontrar o valor de
que maximiza
. Para isso, vamos encontrar a segunda derivada
e determinar onde ela é zero, identificando pontos de máximo.
Primeiro, encontramos
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Resolver
para Encontrar os Pontos Críticos:
A equação é zero quando o numerador é zero:
Passo 5
Determinar Qual
Dá a Derivada Máxima:
Para encontrar qual desses valores de
corresponde a um máximo de
, observamos que
é negativo para
e positivo para
. Como queremos o coeficiente angular máximo (a maior inclinação positiva), escolhemos
.
Passo 6
Encontrar o Ponto Correspondente no Gráfico de
:
Calculamos
:
Resposta
O ponto no gráfico de
onde a reta tangente tem coeficiente angular máximo é
.
Exercícios relacionados
A diferença entre dois números é 20. Determine os números de modo que o produto seja o menor possível.
Estude a concavidade e encontre, caso existam, os pontos de inflexão de:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Verifique as condições do Teorema de Rolle e determine os valores
que correspondem à conclusão do teorema nos seguintes casos:
(a) , no intervalo
.
(b) , no intervalo
© , no intervalo
(a)
(b)
©
Determine o valor de
tal que a função
admita um ponto de inflexão em
.