Encontre um ponto do gráfico de , de modo que a reta tangente ao gráfico de , nesse ponto, tenha coeficiente angular máximo.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo:
Precisamos encontrar um ponto no gráfico da função onde a reta tangente tem o coeficiente angular (inclinação) máximo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para determinar a inclinação da reta tangente e encontrar onde essa inclinação é máxima.

Passo 2

Encontrar a Derivada da Função :
A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . Vamos calcular :
Usando a regra do poder e a regra da cadeia:

Passo 3

Determinar Onde a Derivada é Máxima:
Queremos encontrar o valor de que maximiza . Para isso, vamos encontrar a segunda derivada e determinar onde ela é zero, identificando pontos de máximo.
Primeiro, encontramos :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Resolver para Encontrar os Pontos Críticos:
A equação é zero quando o numerador é zero:

Passo 5

Determinar Qual Dá a Derivada Máxima:
Para encontrar qual desses valores de corresponde a um máximo de , observamos que é negativo para e positivo para . Como queremos o coeficiente angular máximo (a maior inclinação positiva), escolhemos .

Passo 6

Encontrar o Ponto Correspondente no Gráfico de :
Calculamos :

Resposta

O ponto no gráfico de onde a reta tangente tem coeficiente angular máximo é .

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(b)
©
(d)
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(a) , no intervalo .
(b) , no intervalo
© , no intervalo
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