Mostre que f(x) = x^3 + a * x^2 + b * x + c, onde a, b, c pertencem a R são constantes fixadas, não tem máximo ou mínimo se, e somente se, a^2 < 3 b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a função , onde são números reais fixos, não tem pontos de máximo ou mínimo se, e somente se, . Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar onde a função pode ter esses pontos de máximo ou mínimo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto e nos ajuda a encontrar onde essa inclinação é zero, ou seja, onde a função pode ter máximos ou mínimos.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero, pois esses são os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos. Então, resolvemos a equação:

Passo 4

Essa é uma equação quadrática na forma . Para saber se essa equação tem soluções reais (ou seja, se existem valores de que satisfazem a equação), usamos o discriminante, que é dado por:

Passo 5

Analisando o discriminante:
  • Se , a equação tem duas soluções reais, ou seja, a função tem dois pontos críticos (um máximo e um mínimo).
  • Se , a equação tem uma solução real, significando que a função tem um ponto de inflexão.
  • Se , não há soluções reais, então a função não tem pontos de máximo ou mínimo.

Passo 6

Queremos que a função não tenha máximo nem mínimo. Isso ocorre quando não existem soluções reais para a equação da derivada, ou seja, quando o discriminante é menor que zero:

Passo 7

Vamos simplificar essa desigualdade dividindo todos os termos por 4:

Resposta

Portanto, mostramos que a função não tem máximos ou mínimos se, e somente se, .

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