Mostre que
, onde
são constantes fixadas, não tem máximo ou mínimo se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a função
, onde
são números reais fixos, não tem pontos de máximo ou mínimo se, e somente se,
. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar onde a função pode ter esses pontos de máximo ou mínimo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto e nos ajuda a encontrar onde essa inclinação é zero, ou seja, onde a função pode ter máximos ou mínimos.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero, pois esses são os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos. Então, resolvemos a equação:
Passo 4
Essa é uma equação quadrática na forma
. Para saber se essa equação tem soluções reais (ou seja, se existem valores de
que satisfazem a equação), usamos o discriminante, que é dado por:
Passo 5
Analisando o discriminante:
- Se
, a equação tem duas soluções reais, ou seja, a função tem dois pontos críticos (um máximo e um mínimo). - Se
, a equação tem uma solução real, significando que a função tem um ponto de inflexão. - Se
, não há soluções reais, então a função não tem pontos de máximo ou mínimo.
Passo 6
Queremos que a função não tenha máximo nem mínimo. Isso ocorre quando não existem soluções reais para a equação da derivada, ou seja, quando o discriminante é menor que zero:
Passo 7
Vamos simplificar essa desigualdade dividindo todos os termos por 4:
Resposta
Portanto, mostramos que a função
não tem máximos ou mínimos se, e somente se,
.