Sejam
espaços vetoriais de dimensão finita. Se
, prove que existem transformações lineares
e
tais que
é injetiva e
é sobrejetiva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre espaços vetoriais
e
com dimensões finitas, onde
. A ideia é mostrar que existem transformações lineares
que são injetoras (ou seja, sem “colisões” nos vetores) e
que são sobrejetoras (ou seja, cobrem todo o espaço
). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como transformação linear, injeção, sobrejeção e a relação entre as dimensões desses espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma transformação
é injetora se vetores distintos em
são mapeados para vetores distintos em
. Isso acontece se e somente se o núcleo de
(ou seja, o conjunto de vetores em
que
manda para o vetor zero em
) contém apenas o vetor zero.
Passo 3
Como
, sabemos que existe pelo menos uma transformação linear injetora de
para
. Isso porque o número de dimensões do espaço de chegada
é maior, permitindo que cada direção em
seja “injetada” de forma única em
.
Passo 4
Agora, vamos pensar na transformação
. Queremos que
seja sobrejetora, o que significa que para todo vetor em
, existe pelo menos um vetor em
que
mapeia para ele. Como
, o espaço
tem “mais espaço” para cobrir todo
.
Passo 5
Para construir explicitamente essas transformações, podemos escolher bases para
e
. Seja
uma base de
e
uma base de
, onde
. Definimos
de modo que cada
é mapeado para um vetor distinto em
, garantindo que
seja injetora.
Passo 6
Para a transformação
, escolhemos de forma que ela “abraça” todo
. Por exemplo, podemos definir
de modo que múltiplos vetores de
sejam mapeados para uma base de
, garantindo assim que cada vetor em
seja atingido por algum vetor em
, tornando
sobrejetora.
Resposta
Assim, mostramos que se
, existem transformações lineares
que são injetoras e
que são sobrejetoras, conforme solicitado.
Exercícios relacionados
Seja
um conjunto de geradores do espaço vetorial
. Se as transformações lineares
são tais que
, prove que
.
Mostre que uma transformação linear
é sobrejetiva se, e somente se, transforma um conjunto de geradores de
num conjunto de geradores de
.
Determine o valor de
de tal modo que
e
sejam perpendiculares.
Achar os ángulos que o vetor
faz com os eixos coordenados.