Sejam espaços vetoriais de dimensão finita. Se , prove que existem transformações lineares e tais que é injetiva e é sobrejetiva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre espaços vetoriais e com dimensões finitas, onde . A ideia é mostrar que existem transformações lineares que são injetoras (ou seja, sem “colisões” nos vetores) e que são sobrejetoras (ou seja, cobrem todo o espaço ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como transformação linear, injeção, sobrejeção e a relação entre as dimensões desses espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma transformação é injetora se vetores distintos em são mapeados para vetores distintos em . Isso acontece se e somente se o núcleo de (ou seja, o conjunto de vetores em que manda para o vetor zero em ) contém apenas o vetor zero.

Passo 3

Como , sabemos que existe pelo menos uma transformação linear injetora de para . Isso porque o número de dimensões do espaço de chegada é maior, permitindo que cada direção em seja “injetada” de forma única em .

Passo 4

Agora, vamos pensar na transformação . Queremos que seja sobrejetora, o que significa que para todo vetor em , existe pelo menos um vetor em que mapeia para ele. Como , o espaço tem “mais espaço” para cobrir todo .

Passo 5

Para construir explicitamente essas transformações, podemos escolher bases para e . Seja uma base de e uma base de , onde . Definimos de modo que cada é mapeado para um vetor distinto em , garantindo que seja injetora.

Passo 6

Para a transformação , escolhemos de forma que ela “abraça” todo . Por exemplo, podemos definir de modo que múltiplos vetores de sejam mapeados para uma base de , garantindo assim que cada vetor em seja atingido por algum vetor em , tornando sobrejetora.

Resposta

Assim, mostramos que se , existem transformações lineares que são injetoras e que são sobrejetoras, conforme solicitado.

Exercícios relacionados

Seja um conjunto de geradores do espaço vetorial . Se as transformações lineares são tais que , prove que .
Mostre que uma transformação linear é sobrejetiva se, e somente se, transforma um conjunto de geradores de num conjunto de geradores de .
Determine o valor de de tal modo que e sejam perpendiculares.
Achar os ángulos que o vetor faz com os eixos coordenados.