Seja um conjunto de geradores do espaço vetorial . Se as transformações lineares são tais que , prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre espaços vetoriais e transformações lineares. Temos um conjunto que gera o espaço vetorial , ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear dos vetores de . Além disso, temos duas transformações lineares e que mapeiam para . A condição dada é que para todo em . Nosso objetivo é provar que para todo vetor em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores em e escalares , temos:
Isso nos permite manipular combinações lineares facilmente.

Passo 3

Como gera , qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de . Vamos supor que , então:
onde são escalares.

Passo 4

Agora, vamos aplicar as transformações e nesse vetor . Como e são lineares:

Passo 5

Segundo o enunciado, para todo em , . Isso significa que para cada . Substituindo isso nas equações anteriores:

Passo 6

Percebemos que e estão escritas da mesma forma:
Portanto, para qualquer vetor em , é igual a .

Resposta

Concluímos que para todo vetor em .

Exercícios relacionados

Mostre que uma transformação linear é sobrejetiva se, e somente se, transforma um conjunto de geradores de num conjunto de geradores de .
Sejam as transformações lineares definida pela matriz e definida pela matriz , onde é a base canônica de e é a base canônica de . Determine:
A expressão analítica de .
Sejam espaços vetoriais de dimensão finita. Se , prove que existem transformações lineares e tais que é injetiva e é sobrejetiva.
Determine o valor de de tal modo que e sejam perpendiculares.