Seja
um conjunto de geradores do espaço vetorial
. Se as transformações lineares
são tais que
, prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre espaços vetoriais e transformações lineares. Temos um conjunto
que gera o espaço vetorial
, ou seja, qualquer vetor em
pode ser escrito como combinação linear dos vetores de
. Além disso, temos duas transformações lineares
e
que mapeiam
para
. A condição dada é que
para todo
em
. Nosso objetivo é provar que
para todo vetor
em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
em
e escalares
, temos:
Isso nos permite manipular combinações lineares facilmente.
Passo 3
Como
gera
, qualquer vetor
em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de
. Vamos supor que
, então:
onde
são escalares.
Passo 4
Agora, vamos aplicar as transformações
e
nesse vetor
. Como
e
são lineares:
Passo 5
Segundo o enunciado, para todo
em
,
. Isso significa que
para cada
. Substituindo isso nas equações anteriores:
Passo 6
Percebemos que
e
estão escritas da mesma forma:
Portanto, para qualquer vetor
em
,
é igual a
.
Resposta
Concluímos que
para todo vetor
em
.