Seja Y um conjunto de geradores do espaço vetorial V. Se as transformações lineares A, B: V W são tais que A(w)=B(w) forall w in Y, prove que A(v)=B(v) forall v in V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre espaços vetoriais e transformações lineares. Temos um conjunto que gera o espaço vetorial , ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear dos vetores de . Além disso, temos duas transformações lineares e que mapeiam para . A condição dada é que para todo em . Nosso objetivo é provar que para todo vetor em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação T(u + v) = T(u) + T(v) é linear se, para quaisquer vetores T(c cdot v) = c cdot T(v) em e escalares , temos:
Isso nos permite manipular combinações lineares facilmente.

Passo 3

Como v = a1 y1 + a2 y2 + dots + an yn gera , qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de . Vamos supor que , então:
onde são escalares.

Passo 4

Agora, vamos aplicar as transformações A(v) = A(a1 y1 + a2 y2 + dots + an yn) = a1 A(y1) + a2 A(y2) + dots + an A(yn) e B(v) = B(a1 y1 + a2 y2 + dots + an yn) = a1 B(y1) + a2 B(y2) + dots + an B(yn) nesse vetor . Como e são lineares:

Passo 5

Segundo o enunciado, para todo A(v) = a1 B(y1) + a2 B(y2) + dots + an B(yn) em B(v) = a1 B(y1) + a2 B(y2) + dots + an B(yn) , . Isso significa que para cada . Substituindo isso nas equações anteriores:

Passo 6

Percebemos que A(v) = B(v) e estão escritas da mesma forma:
Portanto, para qualquer vetor em , é igual a .

Resposta

Concluímos que para todo vetor em .

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