Determine o valor de h que torna os vetores linearmente dependentes.
[c1 -2 -4],[c-3 7 6],[l2 1 h].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional e precisamos encontrar o valor de que faz com que esses vetores sejam linearmente dependentes. Para fazer isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz formada por esses vetores.

Passo 2

Linearmente dependentes significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Uma forma prática de verificar isso é calcular o determinante da matriz formada pelos vetores. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos formar a matriz com os vetores como colunas:
1 & -3 & 2 -2 & 7 & 1 -4 & 6 & h

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é dado por:
det = 1(7h - 1 cdot 6) - (-3)(-2h - 1 cdot (-4)) + 2(-2 cdot 6 - 7 cdot (-4))
Aplicando aos nossos valores:

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
det = 1(7h - 6) - (-3)(-2h + 4) + 2(-12 + 28)
det = 7h - 6 + 3(2h - 4) + 2(16)
det = 7h - 6 + 6h - 12 + 32
det = 13h + 14

Passo 6

Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser zero:
13h + 14 = 0

Passo 7

Resolvendo para 13h = -14 :
h = -1413

Resposta

O valor de que torna os vetores linearmente dependentes é .

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