Determine o valor de que torna os vetores linearmente dependentes. .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional e precisamos encontrar o valor de que faz com que esses vetores sejam linearmente dependentes. Para fazer isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz formada por esses vetores.
Passo 2
Linearmente dependentes significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Uma forma prática de verificar isso é calcular o determinante da matriz formada pelos vetores. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Vamos formar a matriz com os vetores como colunas:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz é dado por:
Aplicando aos nossos valores:
Passo 5
Vamos simplificar cada parte:
Passo 6
Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser zero:
Passo 7
Resolvendo para :
Resposta
O valor de que torna os vetores linearmente dependentes é .