Determine o valor de que torna os vetores linearmente dependentes.
.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional e precisamos encontrar o valor de que faz com que esses vetores sejam linearmente dependentes. Para fazer isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz formada por esses vetores.

Passo 2

Linearmente dependentes significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Uma forma prática de verificar isso é calcular o determinante da matriz formada pelos vetores. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos formar a matriz com os vetores como colunas:

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz é dado por:
Aplicando aos nossos valores:

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:

Passo 6

Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser zero:

Passo 7

Resolvendo para :

Resposta

O valor de que torna os vetores linearmente dependentes é .

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Sendo e o ângulo entre e , calcular
a)
b)
Respostas: a) 16 , b)
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