Sendo |u|=2 raiz2,|v|=4 e 45^circ o ângulo entre u e v, calcular
a) |2 u times v|
b) |25 u times 12 v|
Respostas: a) 16 , b) 8 / 5

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u e v, com magnitudes |u| = 2raiz2 e |v| = 4. O ângulo entre eles é de 45^circ. Precisamos calcular:
a) |2 u times v|
b) |25 u times 12 v|
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial. Precisamos lembrar como calcular o módulo do produto vetorial entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para o módulo do produto vetorial entre dois vetores a e b:
|a times b| = |a| cdot |b| cdot sin(theta)
Onde:
  • |a| e |b| são as magnitudes dos vetores a e b.
  • theta é o ângulo entre os vetores.
Essa fórmula nos dá uma medida da área do paralelogramo formado pelos dois vetores.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à parte a) da questão:
|2 u times v|
Primeiro, identifiquemos a = 2u e b = v.
Sabemos que:
|a| = |2u| = 2|u| = 2 cdot 2raiz2 = 4raiz2
E:
|b| = |v| = 4
O ângulo entre u e v é de 45^circ, então o mesmo ângulo será entre 2u e v.

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula do produto vetorial:
|a times b| = |a| cdot |b| cdot sin(theta)
Substituindo:
|a times b| = 4raiz2 cdot 4 cdot sin(45^circ)
Sabemos que sin(45^circ) = raiz22, então:
|a times b| = 4raiz2 cdot 4 cdot raiz22

Passo 5

Simplificando os termos:
|a times b| = 4raiz2 cdot 4 cdot raiz22 = 16raiz2 cdot raiz22 = 16 cdot 22 = 16

Passo 6

Agora, vamos para a parte b):
|25 u times 12 v|
Vamos identificar a = 25u e b = 12v.
Primeiro, calculamos as magnitudes:
|a| = 25|u| = 25 cdot 2raiz2 = 4raiz25
|b| = 12|v| = 12 cdot 4 = 2
O ângulo entre os vetores continua sendo 45^circ.

Passo 7

Aplicando a fórmula do produto vetorial:
|a times b| = |a| cdot |b| cdot sin(theta)
Substituindo os valores:
|a times b| = 4raiz25 cdot 2 cdot sin(45^circ)
Lembrando que sin(45^circ) = raiz22:
|a times b| = 4raiz25 cdot 2 cdot raiz22

Passo 8

Simplificando os termos:
|a times b| = 4raiz25 cdot 2 cdot raiz22 = 8raiz25 cdot raiz22 = 8 cdot 25 cdot 2 = 1610 = 85

Resposta

a) 16
b) dfrac85

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