Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores no espaço tridimensional :
A pergunta é: esses vetores conseguem gerar todo o espaço ? Ou seja, será que qualquer vetor em pode ser formado combinando esses três vetores? Para descobrir isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, especificamente o conceito de independência linear e o cálculo de determinante de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, para saber se os vetores , e geram , precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Se forem, isso significa que nenhum vetor pode ser formado pela combinação dos outros, e juntos eles ocupam todo o espaço tridimensional.
Uma maneira prática de verificar a independência linear é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e geram .
Passo 3
Vamos montar a matriz com , e como colunas:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz é calculado assim:
Onde os elementos são:
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos resolver cada parte:
Simplificando:
Passo 5
O determinante da matriz é -36, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores , e são linearmente independentes e, portanto, geram todo o espaço .