Sejam u=[c0 0 -3], v=[c0 -3 9] e w=[c4 -2 -6] cdotu, v, w >=ram R^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores no espaço tridimensional R^3:
u = 0 0 -3 , v = 0 -3 9 , w = 4 -2 -6
A pergunta é: esses vetores conseguem gerar todo o espaço R^3? Ou seja, será que qualquer vetor em R^3 pode ser formado combinando esses três vetores? Para descobrir isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, especificamente o conceito de independência linear e o cálculo de determinante de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, para saber se os vetores u, v e w geram R^3, precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Se forem, isso significa que nenhum vetor pode ser formado pela combinação dos outros, e juntos eles ocupam todo o espaço tridimensional.
Uma maneira prática de verificar a independência linear é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e geram R^3.

Passo 3

Vamos montar a matriz com u, v e w como colunas:
A = 0 & 0 & 4 0 & -3 & -2 -3 & 9 & -6
Agora, calculamos o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3 times 3 é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde os elementos são:
a = 0, b = 0, c = 4 d = 0, e = -3, f = -2 g = -3, h = 9, i = -6
Substituindo na fórmula:
det(A) = 0[(-3)(-6) - (-2)(9)] - 0[0(-6) - (-2)(-3)] + 4[0(9) - (-3)(-3)]

Passo 4

Vamos resolver cada parte:
det(A) = 0[(18) - (-18)] - 0[(0) - 6] + 4[(0) - 9]
Simplificando:
det(A) = 0[36] - 0[-6] + 4[-9] det(A) = 0 - 0 - 36 det(A) = -36

Passo 5

O determinante da matriz A é -36, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores u, v e w são linearmente independentes e, portanto, geram todo o espaço R^3.

Resposta

Sim, os vetores u, v e w geram o espaço R^3.

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