Sejam e ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores no espaço tridimensional :
A pergunta é: esses vetores conseguem gerar todo o espaço ? Ou seja, será que qualquer vetor em pode ser formado combinando esses três vetores? Para descobrir isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, especificamente o conceito de independência linear e o cálculo de determinante de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, para saber se os vetores , e geram , precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Se forem, isso significa que nenhum vetor pode ser formado pela combinação dos outros, e juntos eles ocupam todo o espaço tridimensional.
Uma maneira prática de verificar a independência linear é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e geram .

Passo 3

Vamos montar a matriz com , e como colunas:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz é calculado assim:
Onde os elementos são:
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Vamos resolver cada parte:
Simplificando:

Passo 5

O determinante da matriz é -36, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores , e são linearmente independentes e, portanto, geram todo o espaço .

Resposta

Sim, os vetores , e geram o espaço .

Exercícios relacionados

Sabendo que e o ângulo entre e , calcular
a) a área do triângulo determinado por e ;
b) a área do paralelogramo determinado por e ;
c) a área do paralelogramo determinado por e .
Respostas: a) 6, b) 12 e c) 24
Sobre o modelo de crescimento de dois setores com capital humano, apresentado por Lucas (1988), responda:
Encontre a taxa de crescimento (constante) das variáveis per capita no estado estacionário. Que fatores afetam essa taxa?
Sendo e o ângulo entre e , calcular
a)
b)
Respostas: a) 16 , b)
Determine o valor de que torna os vetores linearmente dependentes.
.