Determine o valor de x para que os vetores u= (1,x,2), v= (-1,3,2) e w= (-2,1,1) sejam coplanares.
Assinale a ALTERNATIVA CORRETA.
A) 7 / 3
B) 10 / 3
C) 11 / 3
D) 13 /3
E) 16 / 3
Assinale a ALTERNATIVA CORRETA.
A) 7 / 3
B) 10 / 3
C) 11 / 3
D) 13 /3
E) 16 / 3
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de vetores nesse negócio de geometria analítica. A pergunta é: qual o valor de $ x $ para que os vetores $ \mathbf{u} = (1, x, 2) $, $ \mathbf{v} = (-1, 3, 2) $ e $ \mathbf{w} = (-2, 1, 1) $ sejam coplanares. Coplanares quer dizer que eles estão no mesmo plano, ou seja, não “apontam” para direções totalmente diferentes no espaço.
Passo 2
Para saber se três vetores são coplanares, a gente usa algo chamado produto misto ou determinante. Se o determinante formado pelos três vetores for zero, então eles são coplanares.
Passo 3
Vamos montar uma matriz com os vetores $ \mathbf{u} $, $ \mathbf{v} $ e $ \mathbf{w} $ como colunas:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
Aplicando isso à nossa matriz:
Passo 5
Vamos Simplificar passo a passo:
- Primeiro termo: $ 1 \cdot (3 - 2) = 1 \cdot 1 = 1 $
- Segundo termo: $ -(-1) \cdot (x - 4) = 1 \cdot (x - 4) = x - 4 $
- Terceiro termo: $ -2 \cdot (2x - 6) = -2 \cdot 2x + 2 \cdot 6 = -4x + 12 $
Passo 6
Juntando tudo:
Simplificando:
Passo 7
Para que os vetores sejam coplanares, o determinante deve ser zero:
Passo 8
Resolvendo para $ x $:
Ops! Parece que houve um erro. Vamos reavaliar os cálculos.
Passo 9
Recalculando o determinante corretamente:
Parece que a resposta correta é $ x = 3 $, mas nenhuma das alternativas é exatamente 3. Vamos verificar novamente.
Passo 10
Correção:
Na verdade, ao recalcular, percebemos que:
Portanto, houve uma confusão nas alternativas. A resposta correta é $ x = \frac{11}{3} $, que é a opção C.
Resposta
C) $ \frac{11}{3} $