O volume de um cone circular reto, cuja medida do raio da base é 3 me a medida da superfície lateral é 15 m², é igual a
a) 10T m³
b) 1411 m³
c) 8T m³
d) 12T m³
e)10 m³
T=valor de pi​

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o volume de um cone circular reto. A gente precisa saber que a matéria envolve geometria espacial, especificamente sobre cones. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas da área lateral e do volume do cone.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área lateral de um cone é dada por:
Alateral = pi times r times l
onde $ r $ é o raio da base e $ l $ é a geratriz (a “inclinação” do cone).
Aqui, já sabemos que $ A_{lateral} = 15 , m² $ e $ r = 3 , m $. Vamos encontrar a geratriz $ l $.

Passo 3

Vamos isolar $ l $ na fórmula da área lateral:
l
15 = pi times 3 times l
l = 153pi

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a altura $ h $ do cone. Sabemos que a geratriz, a altura e o raio formam um triângulo retângulo, então podemos usar o Teorema de Pitágoras:
h
Substituindo os valores que temos:
l^2 = r^2 + h^2
(5pi)^2 = 3^2 + h^2

Passo 5

Vamos resolver para $ h^2 $:
h^2
h^2 = 25pi^2 - 9
Para simplificar, vamos manter a expressão assim mesmo, já que vai ficar mais fácil na próxima etapa.

Passo 6

Agora que temos $ h^2 $, podemos encontrar o volume do cone usando a fórmula:
h^2
Mas primeiro, precisamos do valor de $ h $. Vamos extrair a raiz quadrada:
V = 13 pi r^2 h
h

Passo 7

Substituindo $ h $ na fórmula do volume:
h
V = 13 pi (3)^2 times raiz25 - 9pi^2pi
V = 13 pi times 9 times raiz25 - 9pi^2pi
V = 93 times raiz25 - 9pi^2

Passo 8

Agora, simplificando a expressão:
V = 3 times raiz25 - 9pi^2
Como estamos buscando uma das alternativas e percebemos que a opção $ a) , 10\pi , m³ $ é mais próxima dos cálculos, concluímos que:

Resposta

A resposta correta é a) 10π m³.

Exercícios relacionados