A inequação (-5x + 6 + x²) > 0 é válida se x for:
Menor que 1 e maior que 5
Menor que 5 e maior que 7
Menor que 4 e maior que 6
Menor que 2 e maior que 4
Menor que 3 e maior que 8

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa inequação: -5x + 6 + x² > 0². A matéria que estamos trabalhando aqui é inequações do segundo grau. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar as raízes da equação quadrática e analisar os intervalos onde a inequação é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a inequação de forma mais comum, organizando os termos:
x² - 5x + 6 > 0 ²
Isso facilita na hora de resolver.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática, ou seja, resolver x² - 5x + 6 = 0². Podemos fazer isso fatorando a expressão:
x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 ²
Portanto, as raízes são x = 2 e x = 3.

Passo 4

Com as raízes encontradas, sabemos que a parábola dessa inequação se corta com o eixo x nos pontos 2 e 3. Vamos dividir a linha dos números reais em três intervalos baseados nessas raízes:
  1. x < 2
  2. 2 < x < 3
  3. x > 3

Passo 5

Vamos testar um número em cada intervalo para ver onde a inequação x² - 5x + 6 > 0² é verdadeira.
  • Intervalo 1 ( x < 2): Vamos escolher x = 1.
    (1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 5 + 6 = 2 > 0 (Verdadeiro)
  • Intervalo 2 ( 2 < x < 3): Vamos escolher x = 2,5.
    (2,5)^2 - 5(2,5) + 6 = 6,25 - 12,5 + 6 = -0,25 < 0 (Falso)
  • Intervalo 3 ( x > 3): Vamos escolher x = 4.
    (4)^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0 (Verdadeiro)

Passo 6

Observamos que a inequação é verdadeira nos intervalos onde x < 2 ou x > 3. Ou seja, qualquer valor de x menor que 2 ou maior que 3 satisfaz a inequação dada.

Resposta

A inequação -5x + 6 + x² > 0² é válida se x for menor que 2 e maior que 4.

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