Uma massa de 100 g estica uma mola 10 cm . A massa está presa a um amortecedor viscoso. Suponha que a aceleração da gravidade seja de 10^3 cm/s^2.
(a) Para quais valores da constante de amortecimento gamma o sistema é super-amortecido, tem um amortecimento crítico e é sub-amortecido?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma massa de 100 g esticando uma mola 10 cm e essa massa tá ligada a um amortecedor viscoso. A gravidade tá com aceleração de . O que a gente precisa descobrir é para quais valores da constante de amortecimento o sistema vai estar super-amortecido, criticamente amortecido ou sub-amortecido. Para isso, vamos mexer um pouco com fórmulas de sistemas massa-mola-amortecedor e entender como a constante influencia no comportamento do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a constante elástica da mola, . Sabemos que quando a mola está esticada pelo peso da massa, a força da mola é igual ao peso da massa. Isso pode ser representado pela fórmula:
Onde:
  • é a força (peso da massa),
  • é a constante elástica da mola,
  • é o alongamento da mola.
O peso é dado por:
Onde:
  • (lembrando de converter para kg),
  • (convertendo para m/s² para manter as unidades consistentes).
Substituindo:
Convertendo para metros:
Então:

Passo 3

Agora vamos calcular a constante de amortecimento crítico, . Essa constante é importante porque ela divide os diferentes regimes de amortecimento. A fórmula para é:
Onde:
  • é a massa,
  • é a constante da mola que acabamos de encontrar.
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos comparar a constante de amortecimento com a constante crítica para determinar o comportamento do sistema:
  • Super-amortecido ( ): O sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas de forma mais lenta.
  • Amortecimento crítico ( ): O sistema retorna ao equilíbrio da maneira mais rápida possível sem oscilar.
  • Sub-amortecido ( ): O sistema oscila enquanto retorna ao equilíbrio.

Resposta

  • Super-amortecido quando
  • Amortecimento crítico quando
  • Sub-amortecido quando

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Determine os valores de alpha, se existirem, para os quais todas as soluções tendem a zero quanto t -> infinito; determine, também, os valores de alpha, se existirem, para os quais todas as soluções (não-nulas) tornam-se ilimitadas quando t -> infinito.
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