Determine os valores de
para os quais a função
é contínua para todos os reais.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir quais valores de
fazem com que a função
seja contínua para todos os números reais. Isso está relacionado ao conceito de continuidade de funções, que basicamente garante que não haja “saltos” na função. Para resolver isso, vamos analisar a função em dois pedaços e garantir que ela não tenha descontinuidade no ponto onde os pedaços se encontram, que é em
.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que acontece quando
se aproxima de
pelo lado esquerdo, ou seja, quando
. Nessa região, a função é dada por:
Vamos calcular o limite pela esquerda quando
tende a
:
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando
se aproxima de
pelo lado direito, ou seja, quando
. Nessa região, a função é dada por:
Vamos calcular o limite pela direita quando
tende a
:
Passo 4
Para que a função seja contínua em
, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Então, igualamos os dois limites que calculamos:
Passo 5
Vamos resolver a equação
:
- Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
- Expandimos o lado direito:
- Movemos todos os termos para um lado da equação para formar uma equação quadrática:
- Fatoramos a equação:
- Encontramos as soluções:
Resposta
Os valores de
que tornam a função contínua para todos os reais são
e
.