Determine os valores de para os quais a função é contínua para todos os reais.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir quais valores de fazem com que a função seja contínua para todos os números reais. Isso está relacionado ao conceito de continuidade de funções, que basicamente garante que não haja “saltos” na função. Para resolver isso, vamos analisar a função em dois pedaços e garantir que ela não tenha descontinuidade no ponto onde os pedaços se encontram, que é em .
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que acontece quando se aproxima de pelo lado esquerdo, ou seja, quando . Nessa região, a função é dada por:
Vamos calcular o limite pela esquerda quando tende a :
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando se aproxima de pelo lado direito, ou seja, quando . Nessa região, a função é dada por:
Vamos calcular o limite pela direita quando tende a :
Passo 4
Para que a função seja contínua em , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Então, igualamos os dois limites que calculamos:
Passo 5
Vamos resolver a equação :
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
Expandimos o lado direito:
Movemos todos os termos para um lado da equação para formar uma equação quadrática:
Fatoramos a equação:
Encontramos as soluções:
Resposta
Os valores de que tornam a função contínua para todos os reais são e .