Sem resolver a equação diferencial dada, encontre o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências com centro no ponto ordinário .
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: , e o objetivo é encontrar o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências centradas em . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre pontos ordinários e onde a série pode convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre pontos ordinários e pontos singulares. Em uma equação diferencial, um ponto é chamado de ordinário se os coeficientes da equação são analíticos nesse ponto, ou seja, podem ser expressos como séries de potências que convergem ali. Se os coeficientes não são analíticos, o ponto é chamado de singular.

Passo 3

A equação dada é . Aqui, o coeficiente de é e o coeficiente de é zero (já que não tem termo de ). A função é uma função ** inteira**, o que significa que ela é analítica em todo o plano complexo. Portanto, não temos pontos singulares nesse caso.

Passo 4

Como não há pontos singulares para a função , isso implica que em torno de qualquer ponto , incluindo , a solução em série de potências vai convergir em todo o domínio real e complexo. Ou seja, não há nenhum ponto próximo que limite a convergência da série.

Passo 5

Então, o raio de convergência da série de potências é a distância até o ponto singular mais próximo. Mas, como vimos, não existem pontos singulares para . Isso significa que o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio mínimo de convergência das soluções em série de potências é infinito.

Exercícios relacionados

Sem resolver a equação diferencial dada, encontre o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências com centro no ponto ordinário .
(a)
Determine os valores de para os quais a função é contínua para todos os reais.
(b)
Encontre os limites infinitos.
(h)
Encontre duas soluções em série, e , para a equação em torno da origem. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano . Qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
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