Sem resolver a equação diferencial dada, encontre o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências com centro no ponto ordinário
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
, e o objetivo é encontrar o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências centradas em
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre pontos ordinários e onde a série pode convergir.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre pontos ordinários e pontos singulares. Em uma equação diferencial, um ponto é chamado de ordinário se os coeficientes da equação são analíticos nesse ponto, ou seja, podem ser expressos como séries de potências que convergem ali. Se os coeficientes não são analíticos, o ponto é chamado de singular.
Passo 3
A equação dada é
. Aqui, o coeficiente de
é
e o coeficiente de
é zero (já que não tem termo de
). A função
é uma função ** inteira**, o que significa que ela é analítica em todo o plano complexo. Portanto, não temos pontos singulares nesse caso.
Passo 4
Como não há pontos singulares para a função
, isso implica que em torno de qualquer ponto
, incluindo
, a solução em série de potências vai convergir em todo o domínio real e complexo. Ou seja, não há nenhum ponto próximo que limite a convergência da série.
Passo 5
Então, o raio de convergência da série de potências é a distância até o ponto singular mais próximo. Mas, como vimos, não existem pontos singulares para
. Isso significa que o raio de convergência é infinito.
Resposta
O raio mínimo de convergência das soluções em série de potências é infinito.
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.
(a)
(a)
Determine os valores de
para os quais a função
é contínua para todos os reais.
(b)
(b)
Encontre os limites infinitos.
(h)
(h)
Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno da origem. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
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