Encontre duas soluções em série, e , para a equação em torno de . Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano . Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
A gente vai procurar soluções em série em torno de . Para isso, vamos precisar usar séries de potências e calcular os primeiros quatro termos de cada solução. Além disso, vamos calcular o wronskiano dessas soluções no ponto e, se der, encontrar a fórmula geral para cada uma das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar a variável para simplificar as contas. Vamos definir , então . Agora, nossa equação fica em termos de :

Passo 3

Agora, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em :
Calculamos as derivadas:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial:
Vamos ajustar os índices para termos com :

Passo 5

Rearranjamos para coletar os termos de :
Simplificando:

Passo 6

Vamos assumir como constante livre para a primeira solução e como constante livre para a segunda solução .
Para :
  • Resolvemos recursivamente para encontrar
Para :
  • ,
  • Resolvemos recursivamente para encontrar

Passo 7

Calculando os coeficientes para :
  1. Para :
Como e será determinado, vamos assumir como uma constante e resolver em termos de .
  1. Continuamos desse jeito para achar e .

Passo 8

Depois de encontrar os primeiros quatro termos para cada solução, obtemos:
Para :
Para :

Passo 9

Calculamos o wronskiano usando as soluções encontradas e suas derivadas no ponto .
Substituímos os valores das séries e calculamos no ponto .

Passo 10

Se tudo der certo, conseguimos identificar o padrão dos coeficientes e escrever o termo geral para cada solução.

Resposta

As duas soluções em série para a equação dada são:
O wronskiano no ponto é:
E os termos gerais das soluções são:

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Encontre os pontos nos quais é descontínua. Em quais desses pontos é contínua à direita, à esquerda ou em nenhum deles? Esboce o gráfico de .
(b)
Encontre duas soluções em série, e , para a equação em torno de . Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano . Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(e)
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(b)
Sem resolver a equação diferencial dada, encontre o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências com centro no ponto ordinário .
(a)