Encontre duas soluções em série, e , para a equação em torno de . Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano . Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
A gente vai procurar soluções em série em torno de . Para isso, vamos precisar usar séries de potências e calcular os primeiros quatro termos de cada solução. Além disso, vamos calcular o wronskiano dessas soluções no ponto e, se der, encontrar a fórmula geral para cada uma das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar a variável para simplificar as contas. Vamos definir , então . Agora, nossa equação fica em termos de :
Passo 3
Agora, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em :
Calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituímos , e na equação diferencial:
Vamos ajustar os índices para termos com :
Passo 5
Rearranjamos para coletar os termos de :
Simplificando:
Passo 6
Vamos assumir como constante livre para a primeira solução e como constante livre para a segunda solução .
Para :
Resolvemos recursivamente para encontrar
Para :
,
Resolvemos recursivamente para encontrar
Passo 7
Calculando os coeficientes para :
Para :
Como e será determinado, vamos assumir como uma constante e resolver em termos de .
Continuamos desse jeito para achar e .
Passo 8
Depois de encontrar os primeiros quatro termos para cada solução, obtemos:
Para :
Para :
Passo 9
Calculamos o wronskiano usando as soluções encontradas e suas derivadas no ponto .
Substituímos os valores das séries e calculamos no ponto .
Passo 10
Se tudo der certo, conseguimos identificar o padrão dos coeficientes e escrever o termo geral para cada solução.
Resposta
As duas soluções em série para a equação dada são: