Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno de
. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
A gente vai procurar soluções em série em torno de
. Para isso, vamos precisar usar séries de potências e calcular os primeiros quatro termos de cada solução. Além disso, vamos calcular o wronskiano dessas soluções no ponto
e, se der, encontrar a fórmula geral para cada uma das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar a variável para simplificar as contas. Vamos definir
, então
. Agora, nossa equação fica em termos de
:
Passo 3
Agora, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em
:
Calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Vamos ajustar os índices para termos com
:
Passo 5
Rearranjamos para coletar os termos de
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos assumir
como constante livre para a primeira solução
e
como constante livre para a segunda solução
.
Para
:
-
- Resolvemos recursivamente para encontrar
Para
:
-
, - Resolvemos recursivamente para encontrar
Passo 7
Calculando os coeficientes para
:
- Para
:
Como
e
será determinado, vamos assumir
como uma constante e resolver em termos de
.
- Continuamos desse jeito para achar
e .
Passo 8
Depois de encontrar os primeiros quatro termos para cada solução, obtemos:
Para
:
Para
:
Passo 9
Calculamos o wronskiano
usando as soluções encontradas e suas derivadas no ponto
.
Substituímos os valores das séries e calculamos no ponto
.
Passo 10
Se tudo der certo, conseguimos identificar o padrão dos coeficientes e escrever o termo geral para cada solução.
Resposta
As duas soluções em série para a equação dada são:
O wronskiano no ponto
é:
E os termos gerais das soluções são: