Sem resolver a equação diferencial dada, encontre o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências com centro no ponto ordinário .
(a)
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
A tarefa é encontrar o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências centradas em , sem precisar resolver a equação. Para isso, vamos precisar entender onde a série vai “quebrar”, ou seja, onde aparecem os pontos problemáticos chamados de pontos singulares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a equação pode ter problemas, que são os valores de que tornam o coeficiente de igual a zero. Esses pontos são chamados de pontos singulares.
Então, resolvemos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os pontos singulares:
Passo 4
Perceba que as soluções são números complexos:
Como estamos trabalhando com séries de potências no plano real, o próximo passo é calcular a distância do ponto central até esses pontos singulares no plano complexo. Essa distância vai nos dar o raio de convergência da série.
Passo 5
Para calcular a distância entre e, por exemplo, , usamos a fórmula da distância no plano complexo:
Passo 6
Simplificando os cálculos:
Resposta
O raio mínimo de convergência das soluções em série de potências centradas em é: