Sem resolver a equação diferencial dada, encontre o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências com centro no ponto ordinário x0 = 1.
(a) (x^2 - x + 10) y'' + x y' - 4 y = 0

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
A tarefa é encontrar o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências centradas em , sem precisar resolver a equação. Para isso, vamos precisar entender onde a série vai “quebrar”, ou seja, onde aparecem os pontos problemáticos chamados de pontos singulares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a equação pode ter problemas, que são os valores de que tornam o coeficiente de igual a zero. Esses pontos são chamados de pontos singulares.
Então, resolvemos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os pontos singulares:

Passo 4

Perceba que as soluções são números complexos:
Como estamos trabalhando com séries de potências no plano real, o próximo passo é calcular a distância do ponto central até esses pontos singulares no plano complexo. Essa distância vai nos dar o raio de convergência da série.

Passo 5

Para calcular a distância entre e, por exemplo, , usamos a fórmula da distância no plano complexo:

Passo 6

Simplificando os cálculos:

Resposta

O raio mínimo de convergência das soluções em série de potências centradas em é:

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