Encontre os pontos nos quais é descontínua. Em quais desses pontos é contínua à direita, à esquerda ou em nenhum deles? Esboce o gráfico de .
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os pontos onde a função não é contínua. Além disso, queremos saber se nesses pontos a função é contínua pela direita, pela esquerda ou nem por um lado. Por fim, temos que esboçar o gráfico da função. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é continuidade de uma função e analisar os pontos onde a definição da função muda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se o limite quando se aproxima de existe, é igual ao valor da função em . Se isso não acontecer, a função tem uma descontinuidade nesse ponto.
Passo 3
A função é definida por partes:
Vamos identificar os pontos onde a definição da função muda, que são e . Esses são os candidatos a pontos de descontinuidade.
Passo 4
Vamos analisar o ponto :
Valor da função em : Como , usamos a primeira parte: .
Limite pela esquerda ( se aproxima de 1 por valores menores que 1):
Limite pela direita ( se aproxima de 1 por valores maiores que 1):
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes () e só o limite pela esquerda coincide com o valor da função, temos uma descontinuidade em . Além disso, a função é contínua pela esquerda nesse ponto, pois o limite pela esquerda existe e é igual ao valor de , mas não é contínua pela direita.
Passo 5
Agora, vamos analisar o ponto :
Valor da função em : Como , usamos a terceira parte: .
Limite pela esquerda ( se aproxima de 3 por valores menores que 3):
Limite pela direita ( se aproxima de 3 por valores maiores que 3):
Aqui, os limites pela esquerda e pela direita são diferentes () e apenas o limite pela direita coincide com o valor da função. Portanto, também temos uma descontinuidade em . A função é contínua pela direita nesse ponto, mas não pela esquerda.
Passo 6
Agora que identificamos os pontos de descontinuidade ( e ), e sabemos onde a função é contínua por cada lado, vamos fazer um esboço do gráfico da função .
Para : A função é , que é uma reta.
Para : A função é , que é uma hipérbole decrescente.
Para : A função é , que é a metade superior de uma parábola deslocada para a direita.
No gráfico, em , a função salta de 2 para 1, e em , salta de para 0.
Resposta
A função é descontínua nos pontos e . Em , a função é contínua pela esquerda, e em , é contínua pela direita. O gráfico de apresenta uma reta para , uma hipérbole decrescente para e a metade superior de uma parábola para , com saltos nos pontos de descontinuidade.