Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou em nenhum deles? Esboce o gráfico de f.
(b) f(x) = { x + 1, x <= 1; 1 / x, 1 < x < 3; raiz(x - 3), x >= 3 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os pontos onde a função não é contínua. Além disso, queremos saber se nesses pontos a função é contínua pela direita, pela esquerda ou nem por um lado. Por fim, temos que esboçar o gráfico da função. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é continuidade de uma função e analisar os pontos onde a definição da função muda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se o limite quando se aproxima de existe, é igual ao valor da função em . Se isso não acontecer, a função tem uma descontinuidade nesse ponto.

Passo 3

A função é definida por partes:
Vamos identificar os pontos onde a definição da função muda, que são e . Esses são os candidatos a pontos de descontinuidade.

Passo 4

Vamos analisar o ponto :
  • Valor da função em : Como , usamos a primeira parte: .
  • Limite pela esquerda ( se aproxima de 1 por valores menores que 1):
  • Limite pela direita ( se aproxima de 1 por valores maiores que 1):
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( ) e só o limite pela esquerda coincide com o valor da função, temos uma descontinuidade em . Além disso, a função é contínua pela esquerda nesse ponto, pois o limite pela esquerda existe e é igual ao valor de , mas não é contínua pela direita.

Passo 5

Agora, vamos analisar o ponto :
  • Valor da função em : Como , usamos a terceira parte: .
  • Limite pela esquerda ( se aproxima de 3 por valores menores que 3):
  • Limite pela direita ( se aproxima de 3 por valores maiores que 3):
Aqui, os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( ) e apenas o limite pela direita coincide com o valor da função. Portanto, também temos uma descontinuidade em . A função é contínua pela direita nesse ponto, mas não pela esquerda.

Passo 6

Agora que identificamos os pontos de descontinuidade ( e ), e sabemos onde a função é contínua por cada lado, vamos fazer um esboço do gráfico da função .
  • Para : A função é , que é uma reta.
  • Para : A função é , que é uma hipérbole decrescente.
  • Para : A função é , que é a metade superior de uma parábola deslocada para a direita.
No gráfico, em , a função salta de 2 para 1, e em , salta de para 0.

Resposta

A função é descontínua nos pontos e . Em , a função é contínua pela esquerda, e em , é contínua pela direita. O gráfico de apresenta uma reta para , uma hipérbole decrescente para e a metade superior de uma parábola para , com saltos nos pontos de descontinuidade.

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