Determine os valores de alpha para que o sistema
ccc x+2 y-3 z & = & 4 3 x-y+5 z & = & 2 4 x+y+(alpha^2-14) & = & alpha+2
tenha:
(b) infintas soluções

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y, z) e pede para determinarmos os valores de alpha que fazem esse sistema ter infinitas soluções. Isso envolve trabalhar com sistemas lineares e entender quando eles têm uma solução única, nenhuma ou infinitas soluções. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de álgebra linear, como a análise de matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar a visualização:
x + 2y - 3z = 4 3x - y + 5z = 2 4x + y + (alpha^2 - 14) = alpha + 2
Observamos que a terceira equação pode ser simplificada. Vamos rearranjá-la para isolar os termos com x, y, z:
4x + y + (alpha^2 - 14) = alpha + 2 Rightarrow 4x + y = alpha + 2 - (alpha^2 - 14) Rightarrow 4x + y = -alpha^2 + alpha + 16
Agora, nosso sistema fica:
x + 2y - 3z = 4 3x - y + 5z = 2 4x + y = -alpha^2 + alpha + 16

Passo 3

Para determinar se o sistema tem infinitas soluções, vamos analisar o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for zero, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma; então, precisamos verificar essa condição.
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & 0
Vamos calcular o determinante de A:
det(A) = 1 cdot ( (-1) cdot 0 - 5 cdot 1 ) - 2 cdot ( 3 cdot 0 - 5 cdot 4 ) + (-3) cdot ( 3 cdot 1 - (-1) cdot 4 )
Calculando cada parte:
det(A) = 1 cdot (0 - 5) - 2 cdot (0 - 20) + (-3) cdot (3 + 4) det(A) = 1 cdot (-5) - 2 cdot (-20) + (-3) cdot 7 det(A) = -5 + 40 - 21 det(A) = 14
Como o determinante de A é 14, que é diferente de zero, isso indica que o sistema possui uma solução única para qualquer valor de alpha. Portanto, não existem valores de alpha que façam o sistema ter infinitas soluções.

Resposta

Não existem valores de alpha que fazem o sistema ter infinitas soluções.

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