Vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema de três equações com três incógnitas (x, y, z) e pede para determinarmos os valores de alpha que fazem esse sistema ter infinitas soluções. Isso envolve trabalhar com sistemas lineares e entender quando eles têm uma solução única, nenhuma ou infinitas soluções. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de álgebra linear, como a análise de matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar a visualização:
x + 2y - 3z = 4 3x - y + 5z = 2 4x + y + (alpha^2 - 14) = alpha + 2
Observamos que a terceira equação pode ser simplificada. Vamos rearranjá-la para isolar os termos com x, y, z:
x + 2y - 3z = 4 3x - y + 5z = 2 4x + y = -alpha^2 + alpha + 16
Passo 3
Para determinar se o sistema tem infinitas soluções, vamos analisar o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for zero, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma; então, precisamos verificar essa condição.
Como o determinante de A é 14, que é diferente de zero, isso indica que o sistema possui uma solução única para qualquer valor de alpha. Portanto, não existem valores de alpha que façam o sistema ter infinitas soluções.
Resposta
Não existem valores de alpha que fazem o sistema ter infinitas soluções.