Resolva os sistemas abaixo utilizando o método de Gauss-Jordan:
© 2 x+5 y-4 z & =-2 2 x+4 y-z & =1 4 x-2 y+5 z & =9

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações utilizando o método de Gauss-Jordan. Esse método ajuda a encontrar os valores das incógnitas transformando o sistema em uma matriz escalonada reduzida. Para isso, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar operações para isolar as variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
2 & 5 & -4 & | & -2 2 & 4 & -1 & | & 1 4 & -2 & 5 & | & 9

Passo 3

Nosso objetivo é transformar o elemento da primeira linha e primeira coluna (chamado de pivot) em 1. Para isso, vamos dividir toda a primeira linha por 2:
1 & 52 & -2 & | & -1 2 & 4 & -1 & | & 1 4 & -2 & 5 & | & 9

Passo 4

Agora, queremos zerar os elementos abaixo do pivot na primeira coluna. Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e 4 vezes a primeira linha da terceira linha:
  • Nova segunda linha: 1 & 52 & -2 & | & -1 0 & -1 & 3 & | & 3 0 & -12 & 13 & | & 13
  • Nova terceira linha:
Realizando as operações:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento da segunda linha e segunda coluna seja 1. Como está igual a -1, multiplicamos toda a segunda linha por -1:
1 & 52 & -2 & | & -1 0 & 1 & -3 & | & -3 0 & -12 & 13 & | & 13

Passo 6

Em seguida, vamos zerar os elementos acima e abaixo do pivot na segunda coluna. Primeiro, subtraímos 1 & 0 & 5.5 & | & 6.5 0 & 1 & -3 & | & -3 0 & -12 & 13 & | & 13 vezes a segunda linha da primeira linha:
1 & 0 & 5.5 & | & 6.5 0 & 1 & -3 & | & -3 0 & 0 & -23 & | & -23
Depois, adicionamos 12 vezes a segunda linha à terceira linha para zerar o elemento abaixo do pivot:

Passo 7

Agora, vamos transformar o elemento da terceira linha e terceira coluna em 1, dividindo toda a terceira linha por -23:
1 & 0 & 5.5 & | & 6.5 0 & 1 & -3 & | & -3 0 & 0 & 1 & | & 1

Passo 8

Por fim, vamos zerar os elementos acima do pivot na terceira coluna. Subtraímos 5.5 vezes a terceira linha da primeira linha e adicionamos 3 vezes a terceira linha à segunda linha:
1 & 0 & 0 & | & 1 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & | & 1

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 1, y = 0, z = 1

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