Resolver os sistemas abaixo utilizando o método de Gauss:
(b) cc2 x+y-3 z & =-5 3 x-2 y+2 z & =9 5 x-3 y-z & =6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Gauss. O que temos aqui é um sistema linear com três equações e três incógnitas ( x, y, z). Para resolver, a gente vai transformar o sistema em uma forma mais simples, usando operações nas linhas, até chegar a um ponto onde é fácil encontrar os valores de cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada:
2 & 1 & -3 & | & -5 3 & -2 & 2 & | & 9 5 & -3 & -1 & | & 6
Isso vai nos ajudar a visualizar melhor as operações que vamos fazer.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma matriz triangular superior, onde abaixo da diagonal principal os elementos são zero. Começamos pela primeira coluna. Para zerar os elementos abaixo do primeiro elemento (2), vamos usar a seguinte estratégia:
  • Subtrair (3/2) vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Subtrair (5/2) vezes a primeira linha da terceira linha.
Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, vamos ajustar a segunda linha:
L2 = L2 - (32)L1
Calculando:
3 - (32 times 2) = 3 - 3 = 0 -2 - (32 times 1) = -2 - 32 = -72 2 - (32 times (-3)) = 2 + 92 = 132 9 - (32 times (-5)) = 9 + 152 = 332
Então, a segunda linha fica:
0 -72 132 | 332

Passo 5

Agora, ajustamos a terceira linha:
L3 = L3 - (52)L1
Calculando:
5 - (52 times 2) = 5 - 5 = 0 -3 - (52 times 1) = -3 - 52 = -112 -1 - (52 times (-3)) = -1 + 152 = 132 6 - (52 times (-5)) = 6 + 252 = 372
Então, a terceira linha fica:
0 -112 132 | 372

Passo 6

Agora, a matriz está assim:
2 & 1 & -3 & | & -5 0 & -72 & 132 & | & 332 0 & -112 & 132 & | & 372
Vamos agora focar na segunda coluna para zerar abaixo do elemento -72 da segunda linha. Para isso, faremos:
L3 = L3 - (117)L2

Passo 7

Calculando:
-112 - (117 times -72) = -112 + 7714 = 0 132 - (117 times 132) = 132 - 14314 = -1314 372 - (117 times 332) = 372 - 36314 = -4914 = -72
Então, a terceira linha fica:
0 0 -1314 | -72

Passo 8

Agora, a matriz está triangularizada:
2 & 1 & -3 & | & -5 0 & -72 & 132 & | & 332 0 & 0 & -1314 & | & -72
Vamos resolver de baixo para cima. Começamos pela terceira linha para encontrar z:
-1314z = -72 z = (-72) div (-1314) = 72 times 1413 = 7 times 142 times 13 = 9826 = 4913

Passo 9

Com o valor de z, vamos para a segunda linha para encontrar y:
-72y + 132z = 332 -72y + 132 times 4913 = 332 -72y + 492 = 332 -72y = 332 - 492 -72y = -162 = -8 y = -8-72 = -8 times 2-7 = 167

Passo 10

Agora, com y e z conhecidos, vamos para a primeira linha para encontrar x:
2x + y - 3z = -5 2x + 167 - 3 times 4913 = -5 2x + 167 - 14713 = -5 2x = -5 - 167 + 14713
Vamos calcular os termos:
-5 = -6513 -167 = -167 14713 = 14713
Somando:
2x = -6513 - 167 + 14713 = (-6513 + 14713) - 167 = 8213 - 167
Para somar as frações, precisamos de denominador comum:
8213 = 82 times 713 times 7 = 57491 167 = 16 times 137 times 13 = 20891
Então:
2x = 57491 - 20891 = 36691 x = 36691 times 2 = 366182 = 2

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 2, y = 167, z = 4913

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