Determine os valores de para que o sistema
tenha:
© nenhuma solução

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas ( , , ) e precisa descobrir para quais valores de esse sistema não tem nenhuma solução. Isso tudo faz parte da matéria de álgebra linear, onde a gente estuda como resolver sistemas de equações lineares. Vamos usar métodos de resolução, como a matriz aumentada e operações com linhas, para encontrar esses valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilitar as operações que vamos fazer depois. A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Agora, vamos realizar operações nas linhas para simplificar a matriz. O objetivo é chegar a uma forma onde possamos identificar se há alguma inconsistência (como uma linha que resulta em uma equação impossível tipo ).
Primeiro, vamos eliminar o das segunda e terceira linhas usando a primeira linha.
Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
Isso resulta em:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o da terceira linha. Para isso, subtraímos 4 vezes a primeira linha da terceira linha:
Assim, a matriz fica:
Simplificando os termos na terceira linha:

Passo 5

Observamos que as segundas e terceiras linhas têm o mesmo coeficiente para (-7). Vamos agora eliminar o da terceira linha dividindo a segunda linha por -7 e subtraindo da terceira.
Primeiro, dividimos a segunda linha por -7:
Agora, subtraímos essa nova segunda linha da terceira linha:
Ficando:
Simplificando a terceira linha:
O lado direito da terceira equação simplifica para:
Então, a terceira linha fica:

Passo 6

Agora, vamos analisar a terceira equação:
Para o sistema não ter solução, essa equação precisa ser impossível. Isso acontece quando temos uma equação do tipo , onde é uma constante diferente de zero.
Isso vai acontecer se e, ao mesmo tempo, .
Vamos resolver :
Agora, substituímos na expressão :
Então, quando , a terceira equação se torna , o que é impossível.

Resposta

O sistema não tem nenhuma solução quando .

Exercícios relacionados

Seja . Calcule e .
Resolva os sistemas abaixo utilizando o método de Gauss-Jordan:
(d)
Em cada parte, determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(a)
Em cada parte, determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(e)