Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas (x, y, z) e precisa descobrir para quais valores de alpha esse sistema não tem nenhuma solução. Isso tudo faz parte da matéria de álgebra linear, onde a gente estuda como resolver sistemas de equações lineares. Vamos usar métodos de resolução, como a matriz aumentada e operações com linhas, para encontrar esses valores de alpha.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilitar as operações que vamos fazer depois. A matriz aumentada fica assim:
Agora, vamos realizar operações nas linhas para simplificar a matriz. O objetivo é chegar a uma forma onde possamos identificar se há alguma inconsistência (como uma linha que resulta em uma equação impossível tipo 0 = 5).
Primeiro, vamos eliminar o x das segunda e terceira linhas usando a primeira linha.
Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
Observamos que as segundas e terceiras linhas têm o mesmo coeficiente para y (-7). Vamos agora eliminar o y da terceira linha dividindo a segunda linha por -7 e subtraindo da terceira.
Primeiro, dividimos a segunda linha por -7:
Linha 2 = Linha 2-7 Rightarrow 0 & 1 & -2 & | & 107
Agora, subtraímos essa nova segunda linha da terceira linha:
O lado direito da terceira equação simplifica para:
7alpha - 1087
Então, a terceira linha fica:
0x + 0y + alpha^2z = 7alpha - 1087
Passo 6
Agora, vamos analisar a terceira equação:
alpha^2z = 7alpha - 1087
Para o sistema não ter solução, essa equação precisa ser impossível. Isso acontece quando temos uma equação do tipo 0 cdot z = c, onde c é uma constante diferente de zero.
Isso vai acontecer se alpha^2 = 0 e, ao mesmo tempo, 7alpha - 1087 neq 0.
Vamos resolver alpha^2 = 0:
alpha = 0
Agora, substituímos alpha = 0 na expressão 7alpha - 1087:
7(0) - 1087 = -1087 neq 0
Então, quando alpha = 0, a terceira equação se torna 0 = -1087, o que é impossível.
Resposta
O sistema não tem nenhuma solução quando alpha = 0.