Determine os valores de alpha para que o sistema
ccc x+2 y-3 z & = & 4 3 x-y+5 z & = & 2 4 x+y+(alpha^2-14) & = & alpha+2
tenha:
© nenhuma solução

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y, z) e precisa descobrir para quais valores de alpha esse sistema não tem nenhuma solução. Isso tudo faz parte da matéria de álgebra linear, onde a gente estuda como resolver sistemas de equações lineares. Vamos usar métodos de resolução, como a matriz aumentada e operações com linhas, para encontrar esses valores de alpha.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilitar as operações que vamos fazer depois. A matriz aumentada fica assim:
1 & 2 & -3 & | & 4 3 & -1 & 5 & | & 2 4 & 1 & (alpha^2-14) & | & alpha + 2

Passo 3

Agora, vamos realizar operações nas linhas para simplificar a matriz. O objetivo é chegar a uma forma onde possamos identificar se há alguma inconsistência (como uma linha que resulta em uma equação impossível tipo 0 = 5).
Primeiro, vamos eliminar o x das segunda e terceira linhas usando a primeira linha.
Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 3 times Linha 1
Isso resulta em:
1 & 2 & -3 & | & 4 0 & -7 & 14 & | & -10 4 & 1 & (alpha^2-14) & | & alpha + 2

Passo 4

Agora, vamos eliminar o x da terceira linha. Para isso, subtraímos 4 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - 4 times Linha 1
Assim, a matriz fica:
1 & 2 & -3 & | & 4 0 & -7 & 14 & | & -10 0 & -7 & (alpha^2-14 + 12) & | & alpha + 2 - 16
Simplificando os termos na terceira linha:
1 & 2 & -3 & | & 4 0 & -7 & 14 & | & -10 0 & -7 & (alpha^2-2) & | & alpha - 14

Passo 5

Observamos que as segundas e terceiras linhas têm o mesmo coeficiente para y (-7). Vamos agora eliminar o y da terceira linha dividindo a segunda linha por -7 e subtraindo da terceira.
Primeiro, dividimos a segunda linha por -7:
Linha 2 = Linha 2-7 Rightarrow 0 & 1 & -2 & | & 107
Agora, subtraímos essa nova segunda linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 2
Ficando:
1 & 2 & -3 & | & 4 0 & 1 & -2 & | & 107 0 & 0 & (alpha^2-2 + 2) & | & alpha - 14 - 107
Simplificando a terceira linha:
1 & 2 & -3 & | & 4 0 & 1 & -2 & | & 107 0 & 0 & alpha^2 & | & 7alpha - 98 -107
O lado direito da terceira equação simplifica para:
7alpha - 1087
Então, a terceira linha fica:
0x + 0y + alpha^2z = 7alpha - 1087

Passo 6

Agora, vamos analisar a terceira equação:
alpha^2z = 7alpha - 1087
Para o sistema não ter solução, essa equação precisa ser impossível. Isso acontece quando temos uma equação do tipo 0 cdot z = c, onde c é uma constante diferente de zero.
Isso vai acontecer se alpha^2 = 0 e, ao mesmo tempo, 7alpha - 1087 neq 0.
Vamos resolver alpha^2 = 0:
alpha = 0
Agora, substituímos alpha = 0 na expressão 7alpha - 1087:
7(0) - 1087 = -1087 neq 0
Então, quando alpha = 0, a terceira equação se torna 0 = -1087, o que é impossível.

Resposta

O sistema não tem nenhuma solução quando alpha = 0.

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