Resolva os sistemas abaixo utilizando o método de Gauss-Jordan:
(d) clr-2 z-w & = & -1 2 x+5 y-6 z & = & 3 -x-2 y+z-w & = & -2 4 x+10 y-9 z+w & = & 7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. Esse método é super útil pra gente transformar a matriz do sistema em uma forma mais simples, facilitando encontrar os valores das incógnitas. Para isso, vamos fazer umas manobras nas linhas da matriz, chamadas de operações elementares.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes das equações:
0 & 0 & -2 & -1 & | & -1 2 & 5 & -6 & 0 & | & 3 -1 & -2 & 1 & -1 & | & -2 4 & 10 & -9 & 1 & | & 7

Passo 3

Agora, vamos começar a transformar essa matriz. A ideia é deixar os elementos abaixo e acima dos pivôs (elementos principais) iguais a zero. Vamos começar pela primeira coluna.
Observamos que na primeira linha, o primeiro elemento é 0, mas na segunda linha temos um 2. Vamos trocar a primeira e a segunda linha para ter um número diferente de zero no topo:
2 & 5 & -6 & 0 & | & 3 0 & 0 & -2 & -1 & | & -1 -1 & -2 & 1 & -1 & | & -2 4 & 10 & -9 & 1 & | & 7

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (2 na posição (1,1)). Para isso:
  • Multiplicamos a primeira linha por 0.5 e adicionamos à terceira linha:
    R3 = R3 + 0.5R1
  • Multiplicamos a primeira linha por -2 e adicionamos à quarta linha:
    R4 = R4 - 2R1
Aplicando essas operações:
2 & 5 & -6 & 0 & | & 3 0 & 0 & -2 & -1 & | & -1 0 & -0.5 & -2 & -1 & | & -0.5 0 & 0 & 3 & 1 & | & 1

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna. Perceba que na segunda linha, o segundo elemento é 0.5 (após multiplicar por -1). Vamos trocar a segunda e a terceira linha para ter um pivô diferente de zero na posição (2,2):
2 & 5 & -6 & 0 & | & 3 0 & -0.5 & -2 & -1 & | & -0.5 0 & 0 & -2 & -1 & | & -1 0 & 0 & 3 & 1 & | & 1

Passo 6

Agora, vamos normalizar o segundo pivô. Multiplicamos a segunda linha por -2 para que o pivô seja 1:
R2 = -2R2
Resultado:
2 & 5 & -6 & 0 & | & 3 0 & 1 & 4 & 2 & | & 1 0 & 0 & -2 & -1 & | & -1 0 & 0 & 3 & 1 & | & 1

Passo 7

Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo do segundo pivô (1 na posição (2,2)). Como já está zero abaixo, precisamos zerar acima:
  • Multiplicamos a segunda linha por -5 e adicionamos à primeira linha:
    R1 = R1 - 5R2
Aplicando:
2 & 0 & -26 & -10 & | & -2 0 & 1 & 4 & 2 & | & 1 0 & 0 & -2 & -1 & | & -1 0 & 0 & 3 & 1 & | & 1

Passo 8

Vamos para a terceira coluna. O pivô atual é -2 na posição (3,3). Vamos normalizar dividindo a terceira linha por -2:
R3 = R3-2
Resultado:
2 & 0 & -26 & -10 & | & -2 0 & 1 & 4 & 2 & | & 1 0 & 0 & 1 & 0.5 & | & 0.5 0 & 0 & 3 & 1 & | & 1

Passo 9

Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo do terceiro pivô (1 na posição (3,3)):
  • Multiplicamos a terceira linha por 26 e adicionamos à primeira linha:
    R1 = R1 + 26R3
  • Multiplicamos a terceira linha por -4 e adicionamos à segunda linha:
    R2 = R2 - 4R3
  • Multiplicamos a terceira linha por -3 e adicionamos à quarta linha:
    R4 = R4 - 3R3
Aplicando essas operações:
2 & 0 & 0 & 3 & | & 12 0 & 1 & 0 & 0 & | & -1 0 & 0 & 1 & 0.5 & | & 0.5 0 & 0 & 0 & -0.5 & | & -0.5

Passo 10

Finalmente, vamos normalizar o quarto pivô. Multiplicamos a quarta linha por -2 para que o pivô seja 1:
R4 = -2R4
Resultado:
2 & 0 & 0 & 3 & | & 12 0 & 1 & 0 & 0 & | & -1 0 & 0 & 1 & 0.5 & | & 0.5 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1

Passo 11

Agora, vamos zerar os elementos acima do quarto pivô (1 na posição (4,4)):
  • Multiplicamos a quarta linha por -3 e adicionamos à primeira linha:
    R1 = R1 - 3R4
  • Multiplicamos a quarta linha por -0.5 e adicionamos à terceira linha:
    R3 = R3 - 0.5R4
Aplicando essas operações:
2 & 0 & 0 & 0 & | & 9 0 & 1 & 0 & 0 & | & -1 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1

Passo 12

Agora, vamos normalizar a primeira linha dividindo por 2 para que o pivô seja 1:
R1 = R12
Resultado final:
1 & 0 & 0 & 0 & | & 4.5 0 & 1 & 0 & 0 & | & -1 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 4.5 y = -1 z = 0 w = 1

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