Resolva os sistemas abaixo utilizando o método de Gauss-Jordan:
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. Esse método é super útil pra gente transformar a matriz do sistema em uma forma mais simples, facilitando encontrar os valores das incógnitas. Para isso, vamos fazer umas manobras nas linhas da matriz, chamadas de operações elementares.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes das equações:
Passo 3
Agora, vamos começar a transformar essa matriz. A ideia é deixar os elementos abaixo e acima dos pivôs (elementos principais) iguais a zero. Vamos começar pela primeira coluna.
Observamos que na primeira linha, o primeiro elemento é 0, mas na segunda linha temos um 2. Vamos trocar a primeira e a segunda linha para ter um número diferente de zero no topo:
Passo 4
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (2 na posição (1,1)). Para isso:
Multiplicamos a primeira linha por 0.5 e adicionamos à terceira linha:
Multiplicamos a primeira linha por -2 e adicionamos à quarta linha:
Aplicando essas operações:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda coluna. Perceba que na segunda linha, o segundo elemento é 0.5 (após multiplicar por -1). Vamos trocar a segunda e a terceira linha para ter um pivô diferente de zero na posição (2,2):
Passo 6
Agora, vamos normalizar o segundo pivô. Multiplicamos a segunda linha por -2 para que o pivô seja 1:
Resultado:
Passo 7
Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo do segundo pivô (1 na posição (2,2)). Como já está zero abaixo, precisamos zerar acima:
Multiplicamos a segunda linha por -5 e adicionamos à primeira linha:
Aplicando:
Passo 8
Vamos para a terceira coluna. O pivô atual é -2 na posição (3,3). Vamos normalizar dividindo a terceira linha por -2:
Resultado:
Passo 9
Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo do terceiro pivô (1 na posição (3,3)):
Multiplicamos a terceira linha por 26 e adicionamos à primeira linha:
Multiplicamos a terceira linha por -4 e adicionamos à segunda linha:
Multiplicamos a terceira linha por -3 e adicionamos à quarta linha:
Aplicando essas operações:
Passo 10
Finalmente, vamos normalizar o quarto pivô. Multiplicamos a quarta linha por -2 para que o pivô seja 1:
Resultado:
Passo 11
Agora, vamos zerar os elementos acima do quarto pivô (1 na posição (4,4)):
Multiplicamos a quarta linha por -3 e adicionamos à primeira linha:
Multiplicamos a quarta linha por -0.5 e adicionamos à terceira linha:
Aplicando essas operações:
Passo 12
Agora, vamos normalizar a primeira linha dividindo por 2 para que o pivô seja 1: