Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz :
[cccc1 & 1 & 1 & 1 1 & 1+a & 1 & 1 1 & 1 & 1+b & 1 1 & 1 & 1 & 1+c] é invertível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores de , e para que a matriz dada seja invertível. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente ao conceito de determinante de uma matriz. Para que uma matriz seja invertível, o determinante dela precisa ser diferente de zero. Então, vamos precisar calcular o determinante dessa matriz e ver para quais valores de , e ele não é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular o determinante de uma matriz 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1+a & 1 & 1 1 & 1 & 1+b & 1 1 & 1 & 1 & 1+c . Pode ser um pouco trabalhoso, mas a gente pode simplificar usando operações de linha para deixar a matriz mais fácil de calcular. Olha a matriz que temos:
Vamos fazer algumas operações para simplificar. Subtraia a primeira linha das outras três linhas para criar zeros na primeira coluna abaixo da primeira linha.

Passo 3

Subtraindo a primeira linha da segunda, terceira e quarta, obtemos:
1 & 1 & 1 & 1 0 & a & 0 & 0 0 & 0 & b & 0 0 & 0 & 0 & c
Viu como ficou mais fácil? Agora a matriz está em uma forma triangular inferior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero.

Passo 4

Calcular o determinante de uma matriz triangular (tanto superior quanto inferior) é bem simples: é só multiplicar os elementos da diagonal principal. Então, o determinante dessa matriz é:
det = 1 times a times b times c = a b c

Passo 5

Agora, queremos que a matriz seja invertível, ou seja, que o determinante seja diferente de zero. Portanto, precisamos que:
a b c neq 0
Isso significa que nenhum dos valores , ou pode ser zero.

Resposta

A matriz é invertível para todos os valores de , e diferentes de zero, ou seja, quando , e .

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