Determine os valores de e para os quais a matriz : é invertível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores de , e para que a matriz dada seja invertível. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente ao conceito de determinante de uma matriz. Para que uma matriz seja invertível, o determinante dela precisa ser diferente de zero. Então, vamos precisar calcular o determinante dessa matriz e ver para quais valores de , e ele não é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular o determinante de uma matriz 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1+a & 1 & 1 1 & 1 & 1+b & 1 1 & 1 & 1 & 1+c . Pode ser um pouco trabalhoso, mas a gente pode simplificar usando operações de linha para deixar a matriz mais fácil de calcular. Olha a matriz que temos:
Vamos fazer algumas operações para simplificar. Subtraia a primeira linha das outras três linhas para criar zeros na primeira coluna abaixo da primeira linha.
Passo 3
Subtraindo a primeira linha da segunda, terceira e quarta, obtemos:
1 & 1 & 1 & 1 0 & a & 0 & 0 0 & 0 & b & 0 0 & 0 & 0 & c
Viu como ficou mais fácil? Agora a matriz está em uma forma triangular inferior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero.
Passo 4
Calcular o determinante de uma matriz triangular (tanto superior quanto inferior) é bem simples: é só multiplicar os elementos da diagonal principal. Então, o determinante dessa matriz é:
det = 1 times a times b times c = a b c
Passo 5
Agora, queremos que a matriz seja invertível, ou seja, que o determinante seja diferente de zero. Portanto, precisamos que:
a b c neq 0
Isso significa que nenhum dos valores , ou pode ser zero.
Resposta
A matriz é invertível para todos os valores de , e diferentes de zero, ou seja, quando , e .